CHAPITRE IV. S

oofiDnes des quantités (a , 7»)", c'est-à-dire des suites qui résultent de la décomposition de k suite générale

S- = I + 5J; + 2^5 -f- ^ + 5; -f- etc, ,

en prenant les termes de trois en trois, de quatre en quatre, ou en général de n en n. On trouverait 9 par exemple, que la suite

est sommable lorsque m est impair, et qu'elle ne l'est pas lorsque m est pair.

On tix)uverait au contraire que la suite

I 4-^-1-55 + ^+ etc.

est sommable lorsque m est pair , et qu'elle ne l'est pas lorsque m est impair. Le mot sommable est ici entendu non dans un sens absolu , mais relativement aux méthodes connues jusqu'à présent.

Ces choses n'ayant point de difficulté , et ayant d'ailleurs été démontrées par d'autres voies, nous ne nous y arrêterons pas davantage. Nous ferons voir seulement comment on peut trouver , par des^uites qui soient conver^ gentes dans toute leur étendue, les valeurs des. quantités Ç et Ss qui ^ont restées inconnues dans les art. 56 et 58; Teçherc^ié ptûs difficile qu'elle ne parait au premier coup d'oeil^ parce qu'en suivant les méthode» r<(ui;rae présentent naturellement, on retombe sur la ménie difficulté qu'on voulait résoudre.

40. Pour obtenir d'abord la valeur de Sj, j'observe qu'on peut' 'imposer ^ ^

(W = iXi^^'^r

4oo INTÉGRALES EULÉRIENNES,

car les seconds membres élant intégrés depub j^ = o jusqu'à j^ssi, au moyen de la formule (kf) , ces équations deviennent identiques.

Or, d'après les équations (y)j on a

(1,6)» - (Sfiy^ IfrEr^ '^ •^•^ = ^^'i/s ,

(a,6)» - (4,6)»= i /f=-^ djr log-j^ = ^3.

Ces deux équations ajoutées ensemble, puis soustraites l'une de l'autre, donnent les deux suivantes :

57 7+]?+?- - 4« V/3 - 3j73 =^ — — , de sorte qu'on a entre ces intégrales le rapport très simple

mau cette fommle est susceptible d'être généralisée ainsi :

ÇdyXo^y a«+i P dy\og'y ,,„.

En efièt, soit

p r ày\o^y f. r dyiog'y

on anra

mettant dans cette dernière j^? au lieu de 7*, il viendra

et par conséquent P = ^-~ Q.

Par la combinaison des équations (a'O y et la substitution des valeurs don nées par les équations (z') , on obtient

('.ey + (4,6)' = If^ = i^s.+|»'^5.

Soustrayant la sieconde de la première , on aura