CHAPITRE Vn
ce qui penneltra de réduire les cas où a est plus grand qua l'unité à ceux où il est plus petit.
Si l'on a a S5 1 , alors V (a) se réduit h/dx^six=i i ; ainsi on a
Cela posé, &isons (fssn^^p dans l'équation (ë), alors la valeur du premier membre est connue, et on a
$nï pm nV (i) . '
ou en d'autres termes ,
r(.) r(,-.a)=jjJ^. (fl)
Lorsque ass^^ on a (ra)*s=7r; donc
L'équation (0), très remarquable dans cette tkéorie, fait voir qu'il suffit de connaître la valeur de F (x) depuis a: = ^ jusqu'à ^ := i , et on en déduira les autres valeurs de , cette fonction depuis x^l jusqu'à ^ s= o. Au reste , la valeur de T (x) depuis ^ = j jusqu'à ûcssu^ ne varie qu'entre les limites ^/tT et i, ou 1,77^4^ et i, tandis que depuis ^rcssi' jusqu'à x:ssiOy elle varie depuis 1177:14^ jusqu'à l'infini; et en particulier lorsque
a est infiniment petit , la formule (6) donne F (a) = -.
5o. Si dans l'équation (c) on ùit p^=i y et qu'on prenne successivement 9 =5 1 , 3 , 3* • • • jusqu'à 7» — - 1 y on aura cette suite d'équations :
4io liyrÉGRALES EUt-ÉRlENNES ,
Multipliant les a— i premièr^s^ét^iâiâtiODS'éktfe elles, on aura le produit
G);- G) •:©. :I^- • -: •(riri) T ^„. %a!tf ..
si on les ,aiuJ[tipl|e toutes ^ ou, cju'on fesse a === 5^ le. jgrpduit donnera Soit donc pour abréger * __
T = \/G ■ © • © (D- • • • -tJ^)] .
et on aura — - . .' •^ — i I > Z
r(i)«nT. - -, . • : :
Connaissant tT-J, on en déduira ^^j par l'équation déjà trouvée qui donne
I I -» I SmZZ -■■ ■ ■ * f ^zs ■ ■ ■■ ■ .
• , W /i\/^-/i\ AT^'X 1*""
Et comme les quantités f-J, f-V Qj, etc. sont censées connues pour chaque valeur de /i , il ne reste plus rien à désirer pour la détermina-
tion des fonctions Tf-\ ^
Ces formules font voir que ttitxte 4b^clion tT- j où - est rationnel , peut
se déterminer en général par larqu^idraturé-'^s Courbes algébriques ; mais ce moyen de solution ne s'applique avec succès que dans le petit nombre de
cas où nous avons fait voir q\j^e }éivînjl^grales/^ relatives à un même nombre n, peuvent s'exprimer par le^/fbactions élEptiques.
5i. Réciproquement, si on connaissait la valeur de F (x) pour toute valeur rationnelle de a: y moindr^ ^âe Vii&ité, ^jserait facile de déterminer
Fintégraler-V car on a en généç^l ^^
CHAPÏTRE VU; 4"
et s*il arrive ^^e pf+^^w\i> n^f oa chaDgQrîvd-»Pï^l''^q»*tk)/i (Ç), cette formule en celle-ci
Nous remarquerons que ces formules sont proprp» à <loQuer l'expression générale de T-yau moyen des quantité de la même espèce (-\ (-j, (^\ etc.
En effet, le» -valeur» de T @, r0, r(&iâ)ilant tirée» de b formule (x), on en d«duira
www \r-*J..
formule qui servira tant que ^ -f" 7 ^^ P^^^ P^^^^ ^^^ ^*
Si on a ^ -(- ^ ^ n, il faudra faire usage de Ja seconde formule , qui donnera par de semblables snbstitùïîÔBs, * *
Ces fei*QQùles répondent aàx équations (k) et (n) trouvées oî^dessus, et on les ferait coïncider entièrement en substituant, au lieu de chaque quafïtité
f- j , sâ valeur i « ,
Va/ sin * '
ainsi les fonctions T offrent uq nouveau moyen direct et \fès si^iple de déterminer Texpression générale des quantités T-J. - 5a. Pour revenir anx quantités F (a) , nous avons déjà trouvé Péquation
au moyen de laquelle les valeurs de la fonction , depuis a = o jusqu'/iii := ~^, ft^ dé4tti^nt des yakuM-supposéei^connaei-, depuis '(filète ^ jusqu'à a ss: i:
Kons )^k»s vfW'Qifnu; ^én^ntitiit qttll*fiiiffit dier coAuaftre lès valeucs de la fonction dans la moitié de cet intervalle, c'est-à-dire seulement depuis <i.«S¥ % îi^çqyi^ a s» I y et on eq 4édiaira toutes les autres valeurs.
4 13 INTÉGRALES EULÉRIENNES ,
En effet, si on suppose a < ^ n, Péquatbn (c) donne tout i la fois
Substituant ces valeurs dans l'ëquation (d') , puis mettant simplement a au lieu de -, et réduisant les fonctions d'après la formule (0), on aura
r (a) = —: ces oT.r {2a).T (^ — «) ,
équation qui suppose a ^j. ^
Cette équation combinée avec l'équation (6) , donnera
r(i— a)=:-^cosa^r(i-.2a)ra+fl)j
enfin de celle-<û on déduit, en mettant a -— ^ au lieu de a,
r (a) = ^'ri}^ .. ^Sï=^ (,)
^ ^ 8in aw r (a — aa) ^ ^
53. Nous supposerons connues les valeurs de F (a) depuis a ss ^ jusqu'à as:; x.
Gela posé, i^. Le second membre de l'équation (r) sera connu pour toute valeur de a, depuis azsa \ jusqu'à a =: |; donc on connaîtra T (a) dans ce même intervalle depuis a :;= | jusqu'à a =s |.
2*. Au moyen de ce premier cas , le second membre sera connu d a -— aa est compris entre t ^t |; on connaîtra donc F (a) toutes les fois que a est comprb entre t7 ^^ If •
3*. Au moyen des deux premiers cas, le second membre de l'équation (v) sera connu si a -^ aa est compris entre tj ^^ Hi donc on connc^tra F (a) pour toutes les valeurs de a comprises depuis a ss f = If jusqu'à
4^. Le second membre sera encore connu si s -p- aa est compris entre 17 e t yr ; donc F (a ) sera connu depuis a =^ ff = -f^ jusqu'à a sss f^ , et ainsi de suite.
Par ces diversp^ opérations les valeurs de a pour lesquelles F (a) devient
