CHAPITRE VÏIi

Considérations générales sur les Intégrales Eulériennes de la

première ef de la seconde espèce.

55. JLk <lésignânt par (^ j l'itikëgrale / -^r^ — ^^ — , pw«e ilepvis xs=o

jusqu'à ^rs=: I , £uler avait pour but de cooiparer entr^ elles Ie& diverses in<thaïes de cette forme qui répondent à une même valeur de /^, et il .suppo* sait d'ailleurs ies nombres p^, ^ , n «ntiers j «lais on jpeut considérer les choses d'une manière plus générale.

Soit af z=ij , on aura îa transTorgaëe - (f^ "" * rffî( i — / )•"" ' ; mettant

dams Celle-ci/? et 9 à la,plaoe.de^«t-,'eUe't}evi6iid]Mi-j^'^'«^ (i — ^^*"*, nouvelle intégrale qui devra toujours être "prise ^eritre tes îhnîtes^rrso,

De là on voit que Pît>tégfaley3c^*"'rf»(i — ocy^^y prise entre Jes limites xsOy ^= I y comprend l'intégrale d^Eoler, lorsque ;!> «t ^q sont suppoeé^ rationnels; mais elle ponri^a-en «e|»pésenfeer une infinité d'autres.

Nous désignerons cetife 'iieuvelte iMégrale patr le symbole [p,(jf]y qui ne laisse rien de sous-entendu; les nombres/? et q seront à volante rationnels ou irrationnels; mais ils ^devront-étre.i^osili&d'tifeivel l'autre, parce que sans cette condition^ l'intégrale aurait une valeur infinie. Au moyen de ce nouveau symbole, Tînt^grale Eulérienne s'exprime ainsi,

56. Il est essentiel d'observer que l'intégrale désignée par [p , q\ peut être regardée comme une fonction continue de ^ et ^, ou comme la troisième coordonnée d'une surface courbe dont p et q seraient les deux autres coordonnées. En effet, si l'op fait croître par degrés insensibles l'une ou l'autre