Si ronfaitV=a: (/i)*, on aura dy^dxQlJ-'adxQ

Intégrant de part et d'autre depiùs ar=so jusqu'à ors; i , et observant que y s'évanouit dans ces deux limites , on aura

r(al|.i) = ^aj (i)

c'est la première et la principale propriété des fonctions F. La démonstration que nous venons d'en donner suppose a positif, sans quoi Y ne s'évanouirait pas lorsque x^sp i.

On peut distinguer dans les valeurs successives de Fa, plusieurs périodes j la première comprise depuis a;=o jusqu'à a:^ i^h seconde depuis asi jusqu'à A =2, et ainsi de suite à l'infini. Cela posé, il résulte de l'équatiou précédente que si l'on connaît la fonction F daos toute l'étendue d'une de ces périodes , on pourra déterminer cette fonction dans toute autre période.

Par exemple, si la seconde période est donnée, on trouvera F| qui apparu tient à la première période, et F (|) qui appartient à la quatfième, par les valeurs suivantes, déduites de l'équation (1),

5g. La fonction Fa est la pl\is simple lorsque a ;= i ; alors on a F (a) ss

4i6 UyrÉGRALES EULÉRIENNES,

fdx = j? = 1 • Donc ) lorsque a est un nombre entier ^ on a généralement

c'est-à-dire que la fonction Xa e^ égale au produit de tous les nombres entiers moindres que a.

Cette nolion , fort claire lorsque a est un entier , ne présente plus aucun sens lorsque a est fractionnaire; mais l'analyse y supplée en donnant pour

/~J , prise depuis a:=o jusqu'à

^^:i; intégrale qu'il sera toujours possible d'évaluer avec tel degré d'approximation qu'on voudra.

60. La fonction \a est très remarquable par l'utilité dont elle est dans la théorie des intégrales définies. Nous pensons qu'il est nécessaire de lui impo-

, ser un nom particulier, et nous proposons de prendre'pour ce nom celui de la lettre grecque F. Nous appellerons donc en général gamma du nombre a, le produit de tous les nombres inférieurs à a^ savoir, 1 «s.S. • . • (a—- 1).

Lorsque a ne sera pas un nombre entier , le gamma du nombre a sera en général une transcendante. Mais nous verrons que ces transcendantes ont beaucoup de propriétés, et qu'elles peuvent être évaluées dans tous les cas avec presqu'autant de facilité que les arcs de cercle et les logarithmes. Réciproquement le nombre a pourra être regardé comme la racine de la fonction Ta y et nous la désignerons de cette manière.

61. Revenons maintenant à l'intégrale définie 7^^""'^^ (' — ^)*^S V^^ BOUS avons représentée par [p^ q]- Cette intégrale est facile à déterminer lorsque l'un des deux nombres p et q est entier. Supposons que ce soit q , et faisons \j=zx^(i — «2:)^""', nous aurons par la différentiation ,

Intégrant de part et d'autre depuis a:= o jusqu'^a or :;= i , et observant que dans ces deux limites U est nul, puisqu'on suppose à la îoisp^o et ^ ^ I , on aura

fx^^dx (i— ^)f-* = ^J^Zl—fx^-'dx (1 — ^>""*; on aurait de la même manière

et ainsi successivement, jusqu'à ce qu'on parvienne à l'intégrale yîc'"'*^ qui, dsins les limites données, se réduit à -. Donc q étant un nombre en-