Représentons par (a, »)" la somme de la suite infinie

«^ "^ (a + »)" "^ («1 4- 2»)" "*" (^'âiô^ "^ ^**'*'

si l'on fait a:=:snx, cette suite devient

Ainsi en faisant a:= -', l'expression générale de la tranâ(Qeodajate (a^ o)**. sera

On peut encore remarquer qu'en faisant

on aura en général ^,(ar) + 4'«(* + *) = consl. =: S,; donc

C'est simplifier la théorie de' ces diverses transcendantes, que de fhire voir, qu'elles dépendent d'une même fonction Ar(i 4~«^) ^t de sescoef&cîais différentiels successifs.

93. Considérons maintenant d'une manière particulière l'équation

ddlT{i 4-x)

ILllfZ— __î__i L .1 * H-cte

que nous meUnns sous la forme

44o INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

Cette formule est le principe d'où nous allons déduire de nouveaux théorèmes, qui serviront à perfectionner et même à compléter entièrement la théorie des fonctions F.

Soit pour abréger, y{oc) la fonction qui forme le second membre de l'équation (27); si l'on met 2X à la place de ^, on aui*a

dans la suite renfermée en parenthèses, les termes de rang impair ont pour

somme f{pc)j et les termes de rang pair ont pour somme /{^ + x}. Ainsi

on a

/(aa:)=|/(^)+i/a+^):

or l'équation (12) donne f{x) = -3^-, /(i+ x) = îî^£g±fl,/(2^)===

— T^r^J substituant ces valeurs, il vient

* ddlr (nx) ddlTx ddt6(i + x)^

multipliant par dx et intégrant, on a

dlr{2x) dlrx , dlr(l + x) , ■"35"' — '^ ^ dTT^^^

Multipliant encore par dx et intégrant, il vient

logr(3x) = logra:4-Iogr(i + a:) + rta: + ^„

ou, en passant des logarithmes aux nombres ,

TxT(i'{-x)z=zAer^T(2x).

11 reste à détermînet les deux constantes A, a, introduites par l'intégration. Pour cela, soit x infiniment petit, on aura ra:s=:-et r(2,r)=— ; donc

A = 2r j. Soit ensuite x = x> on aura Ae""**=r^, donc#»*=:aj dooc l'équation générale est

Nous retombons ainsi sur l'équation (9) déjà démontrée de deux autres manières ; mais la même méthode va nous faire découvrir de nouvelles propriétés.

94. En appelant toujours f{x) le second membre de l'équation (27) , si