CHAPITRE X

l'on met Sx à la place de a:, on aura

La suite contenue dans le second membre se décompose en trois autres , savoir ,

dune on a

Kemettant au lieu de f{^) sa valeur i ^ , et semblablement pour les autres termes, il vient

dx* dx* '^ dx^ "*" dit*

Intégrant cette équation deux fois consécutives^ on obtient pour résultat

TxT (i+^) r(f +^) = r(5a:).A^-«^.

Pour déterminer les deux constantes A et a, soit, i*. x infiniment petit ^ on aura A=5r jFf =-:--r-- = 2^ v^5; soit, a*. ^ = j, on aura..v

Ae"3* = Tj r I = 5 A, et par conséquent e*= 3^, Donc on ji l'équation

c'est la quatrième propriété générale des fonctions F.

95. Si l'on considère semblablement la fonction y*(5ar) ^ et qu'on décom-* pose la suite qu'elle représente en cinq autres, provenant des termes comptés de cinq en cinq, à commencer par le i*% le a% le 3% le 4* et le 5% on obtiendra l'équation

ce qui donne l'équation difiPérentielle

ddlr(^ ddlrx j, ddlr Q + x) ^, ddlr (| + x)

, ddlTii^x) , ddlrji+x)

'^ dx^ ^ dx' ^

44^ ITsTÉGRALES EULÉRlENiNES,

dont l'intégrale est

Pour déterminer les constantes A et a, on fera successivement x infiniment petit et or = I, ce qui donnera

A = 5rirfr|r|, Ar^=rir| r | rf = i A;

donc e* == 5^ : ensuite on a par l'équalion (3) ,

ce qui dbnne A = = 4^ V^5. Donc enfin la fonction T satisfait

sin ^ sm -t-

encore à l'équation.

YxV{\+x) r(| -Hx) r(|+a:) r(f +a:) =r(5a:).(2^)\5^"'^' : (3o)

c'est la cinquième propriété générale des fonctions F.

96. 11 est facile de voir qu'on peut généraliser ces résultats et les comprendre dans une même formule. En e&t , n étant un entier quelconque , la valeur àej\nx) pourra se décomposer ainsi ,

il tVk résulte l'équation différentielle

dont rintégrale finie est

Pour . déterminer les deux constantes A et oc , faisons successivement oc infiniment petit et or = - , nous aurons ces deux équations

== nr - r - r -. . . .r ,

Ae~« = v-v- r- rîi-=^ = -;