CHAPITRE X

la dernière donne immédiatement e* c= »"• Pour avoir la valeur de A , il faut distinguer deux cas, selon que n est pair ou impair.

Soit, I^ n=i2m. les fonctions F-, F- r^^, T —— auront

un terme moyen T{=:: V'^^ ®* ^^ termes également éloignés des extrêmes étant complémens l'un de Tautre, leur produit sera donné par l'équation (3) j et on aura pour le prodïdt total de ces fonctions ,

1 y ir <r «- . I ^

^ • îr* 2jr' . 3îr' • * * . m— i . ir . 2Wr . 3»- . w»— i *

sin- sin— sîn — sm «• sm - sin — sin — sin — — - «•

Mais en faisant z infiniment petit dans la formule qui termine Fart. 240 , Introd. in An. inf. , on trouve

sin- sin— sin — sin — - — ir=: a ^ |//i;

ce qui donne, dans le premier cas,

et par conséquent

A = (a'TT ~ n^.

Soit 2*. 71 = 2^4- I, il n'y aura point de terme moyen dans la suite

ri rE r? r ^^^^ ; mais les termes Clément éloignés des extrêmes

étant toujours complémens l'un de l'autre , le produit de toutes ces fonctions sera

«• a» iiwr . ir , 2jr lllir

sin - sm — «m — sm - sm — sm

D'une autre part , la formule citée d'Euler donne , lorsque n est impair,

tr • 2ir . 3ir îHir ^ -s

sm - sm — sm — • • . . . sm — = a ^ n \

donc on a encore dans ce cas,

rir^r? t ^^=^ =: {27rf^ n\

et par conséquent,

444 INTÉGRALES EUUÈRIENNES,

Dbne , quel que soit le nombre «M^er Uy on aura géiérafeiiifiBrtla formule

97. Cette fomale tris reraapcifttaUroQBttp rend conuBe ea9 perlicubersi 1^ Ibtmfilea (38), (219) el (3q); elle eu domieca tmA d'auAres qu'oa voiidra^ en prenant pour n des valeurs en nombres entiers au-dessus de 5.

11 est bon néamnoins d'observer que les formules qui résultent de Pëquation Ç^i}f en prenant pour n un nombre composé, ne sont que des contéquences de celles qui ont lieu en ne prenant pour n que des nombres premktiSBy et qu'ainsi il suffît de considérer ces dernières ^ en donnant à n les valeurs successives 2 y 3,5, 7 , 11, etc. On obtiendra encore de cette manière une infinité d'équations auxquelles les fonctions F doivent satisfaire, et qui donnent les moyens de mdilîplier a l'infini les comparaisons et les réductions dont ce genre de transcendantes est susceptible.

98. Nous observerons encore que dans les usages.de la formule (3 1) et de

toutes celles qui en dérivent, on peut se borner à hâte x <^ ; car si l'on met

- + a: à la place de ^7, la formule qui naît de cette substitution ne difiere

pas de la formule (Si); de sorte qu'on n'obtiendra entre les fonctions F que les mém^ relations qui peuvent être obtenues en supposant

ûQ. Nous pouvons même aller plus loin , et démontrer qu'il suffira de fisdre X < — , parce que l'équation qui viendrait en supposant J:= — -f-a, ne différera pas^ essentiellement de celle que donne la supposition

En effet, si Ton fiiit suecessivemenl ces denx substitutions dans l'éqnation (5 1 ) , on aura

r(i+«)r(r„+«)r(ê+«)---rC-S^+«)==mH-»«)(:»*) - »

multipliant ces deux équations entre elles , et observant que chaque fonction F dans une équation, trouve son complément dans l'autre, on aura pour le produit total cette équation y