CHAPITRE X

laquelle en faisant ^ •+■ wjrzzn s , peut être mise sous cette forme , sin «a Œ:a— • sin a sin (^ 4- a) sin (^rf- a ). . . .sin (^^ * H- a) :

c'est Tëquation déjà citée de Tari. a4o, Introd. in An. inf.

De là on voit que les deux équations obtenues en faisant ar =5 — + a ,

•^ = — — û) , ne donnent qu'un seul et même résultat , et qu'ainsi dans l'ap-

plication de l'équation (3i) , il suffira de faire or < — . On peut remarquer encore qu'en faisant ûi £=s o, on a la formule

r J. r - r ....... r 2î^=^= (a^TT)-^ ri,

laquelle se déduirait aisément de la formule générale

100. 11 lie sera pas inutile de rassembler ici sous un même point de vue, toutes les équations qui contiennent les propriétés générales des fonctions F, Voici ces formules , accompagnées des lettres qui serviront dans la suite à les désigner.

(A) Ta; = 1.2.5. .. .(x— i),

(B) r(i-h*)=jcr«,

A -i-ax

(D) rxr (i + x) = r(2a;) . (a7r)ï a'

(E) TxV a +^)r ^1 -Har) =r (5ar).(a^)- 3^"^^,

(F) rxrCi+JP)r(| + ar)r(|4-ar)r(H-«)=r(5x).(a7r)«5»-^,

Ces équations offrent une infinité de manières de comparer entre elleq les fonctions F , et d'opérer toutes les réductions que leur nature comporte. On

44& INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

peut démontrer , par exemple, qu'il suffit de connaître la fonction F dans une petite partie de la ptemière période^ pour pouvoir déterminer cette fonction dans tout le reste de la période. On peut aussi considérer parmi les fonctions r^, celles qui se rapportent aux diverses valeurs^ raticnonelles de x qui ont un même dénominateur, et se proposer de réduire toutes ces transcendantes au moindre nombre possible» De là naissent difiërens problèmes curieux qui jetteront un nouveau jour sur la nature des fonctions F , et sur lesquels nous allons donner quelques recherches.

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