CHAPITRE XI

Cela posé, si dans TéquatioB (D) on fait a? = ^ -f- », on aura

Mais par Féqualion (C) on a (| + a) = — (i et) + rf, et par T^quation (D), G + ^a) = C4«) — (^a) + dy donc

Tant qu'on aura a < -ït? cette équation déterminera la fonction (x) ou (4+*) par d'autres fonctions où x est moindre. Ainsi en donnait à a toutes les valeurs depuis « = G jusqu'à a = -j^ , on connaîtra la fonction (x) depuis x = ^ jusqu'à x=:j.

I02. Par exemple, soit ar = ^, ou ct= ;Î;, on aura

ainsi la valeur de (^) est composée de quantités connues. Soit encore a: = 7I ou a =: y^, <m Saura

Dans le second membre, la fonction (^) n'est pas donnée immédiatement, puisque (-^) est >> ^3 i^isiis on aura sa valeur par la même formule, en faisant a = i^ — 4 = ^ j ce qui donn e

d'où l'on voit que (^) deviendra entièrement connu.

io3. Lorsqu'on fait x==| ou 0t= i^ A^ formule précédente ne détermine pas la fonction (j) ^ mais alors les équations (C) et (D) donnent immédiatement

(î)+(i)=i^, cè)+a)-(i)=«';

d'où l'on tire la valeur cherchée

Connaissant la fonction (x) depuis xzsso jusqu'à ^s | , il reste à la déterminer depuis j:=^ jusqu'à or = |« Or , par la combinaison des équations (G) et (D) , on a la formule

Si l'on donne à et toutes les valeurs depuis €»= o jusqu'à a =: | , le second membre sera connu; ainsi on aura là valeur dé la fonction (x) ou (î — 0t)> depuis a:= î jusqu'à a? ss |.

448 INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

Od peut donc déterminer la fonction Tx pour toute valeur de la racine Jc, pourvu qu'on connaisse cette fonction depuis x = o jusqu'à x = ^*

Ce problème revient à celui que nous avons résolu dans Fart. 53 ; mais la méthode précédente fait voir plus clairement la possibilité de la solution.

io4« Il ne serait pas difficile d'ailleurs d'obtenir les solutions efl^tives, en réalisant les quantités désignées par d; on trouverait alors les trois équations

(i + a)=a-«) — (2a)4-(4«) + a + :i«)/2 + /sina — «)^,

:.(i) = (^)+i/-7r-|/2-/sin|9r, (j — a)=((x) — (2a) + ^ Itt — (i — 2a) h — IcosofTC.

La première servira à déterminer la fonction (x) depuis x = ^ jusqu'à x= | ; la seconde déterminei*a la fonction ^ ; et la troisième servira à déterminer la fonction (x), depuis a: .=: j jusqu'à à;= |. Enfin , d'après ces données, l'équation (C) servira à déterminer la fonction (x), depuis x= l jusqu'à x= i.

io5. Puisque l'emploi des, équations (C) et (D) donne les moyens de réduire à ^ la partie de la première période où la fonction Tx doit être connue, afin de déterminer cette fonction dans la période entière, on peut conjecturer de là que si à ces équations on joint l'équation (E) , il sera possible de réduire ultérieurement à ^ (i — J) ou | , la partie de la période qui sert à déterminer tout le reste. C'est ce que nous allons vérifier par une analyse semblable à la précédente.

Supposons que la Fonction (x) est connue depuis x = o jusqu'à x=^; d'après l'équation (E) on aura

Mais l'équation (D) donne Cî + ^) = (2a) — (flt) + i3Î, (i4.5a) = (6«) — (3a) + dy et l'équation (C) donne (f + «) = — (^ — et) + £/ j on a donc la formule

(i + a) = (i-a) + (a)-(3«)-(3a)4lC6«) + ^.

Tant que 6cl sera plus petit que g^ + a, ou tant qu'on prendra a<^, cette équation donnera la valeur de (x) ou f| + «) par des Fonctions dont la racine est moindre. Ainsi on connaîtra la Valeur de la fonction (or) depuis x= ^ jusqu'à a: = j.

La formule précédente ne détermine pas la valeur de la fonction (j); mais par une autre formule que nous donnerons ci -après (art. 1 16), on a

io6. Il reste à déterminer la fonction (x) depuis ^= j jusqu'à x=z|.