CHAPITRE XI

Pour cela, soit et ^3^+2, l'ëquation précédente deviendra

Pour faire usage de cette formule, il faut^upposer connue la fonction (7+^) depuis 2 = 0 jusqu'à z=:a», âi étant une quantité aussi petite qu'on voudra. Alors donnant* à z toutes les valeurs depuis jssss o jusqu'à zs=2^ y on connaîtra la fonction (x) ou (7 +6a), depuis a; =1- jusqu'à x = -J.

Ou peut aussi ne faire usage de la formule. précédente que depuis 2 s=o jusqu'à z=47, ce qui fera connaître la fonction (pc) depuis ^r=| jusqu'à a:=j. On déterminera ensuite cette fonction depuis a:=i j jusqu'à ^=7, par la formule

Cette solution est fort simple, puisqu'elle est fondée sur une seule formule mise sous deux formes différentes; mais elle suppose qu'outre la partie de la période connue depuis x=o jusqu'à ^=|^, on connaît encore la partie comprise depuis x = j jusqu'à ar = | 4~^9 ^ étant une quantité qui, à la vérité, peut être aussi petite qu'on voudra, mais qui ne peut être tout-à»&it anéantie. Voici un autre moyen de résoudre le même problème, en supposant connues deux parties de la période non contiguës, mais telles que leur somme se réduit précisément à |.

107. Supposons la fonction (x) connue dans deux parties de la première période,' savoir, depuis xsszo jusqu'à or = 7;^, et depuis xss:-^ jusqu'à ^=-^: ces deux parties réunies font une somme égale àî ^^ efpotrr déterminer la fonction (x) dans tout le reste de la période, il faudra exécuter les opérations suivantes:

I •. Par les formules (E) et (C) , on a

(3flt) = [a) + (± + a) — a — a) + £/:

le second membre est connu depuis «e = o jusqu'à «;;= ;^, ainsi on connaîtra la fonction (x) depuis or = o jusqu'à :r= ^. a^. D'après les équations (C) et (D), on a

le second membre est connu depuis ee = o jusqu'à a^ss^; donc on connaîtra la fonction {x) depuis a:=c= 0 jusqu'à x = i^* > - -

^^. Mettant ot—- 1 à la place de cl dansTéquatîon précédente, on en tire

45o INTÉGRALES EULÉRIENNES,

le second membre deceUe*cl est connu depuis « == o. jus^'à «t. r= ^ ; donc on connaîtra la fonction (jer) depuis xzsz-^ jusqu'à x^=i-^.

Par ces trois premières opérations, la fonction {x) devient connue depuis icstsp jusqu'à a?=y^, et depuis « = ^ jusqu'à a: = -^. Il faut maintenant rem^r la lacune que laissent ces deux espaces, depub x=s. ^ jusqu'à 03x3^, ou depuisjp = f — 7pr jusqu'à a? = |+-jfj/

4*. D'après Pëquation (D) , on a

les termes (17+^)9 (j + s^) peuvent être remplacés «par leurs complémens — (t^— z), — '(f— 32); ensuite par l'équation (D), le terme (f — ^z) peut être remplacé par (j — ^z) -^ (70 -^ 22). On aura donc

Dans cette équation , le second membre sera toujours connu , pourvu que z positif ou négatif ne surpasse pas x?*

Cela posé, donnons à z toutes les valeurs depuis z = ^^ jusquà ^sçitjô; la fonction (j— 4^) est connue dans cet intervalle; ainsi on connaîtra la fonction {x) représentée par (j+^j), depuis a: = j + ^ jusqu'à x SB j-f*T^* Donc l'intervalle où la fonction (jx) reste inconnue ne s'étend plus que depuis x == | -^ -^ jusqu'à a: = j-|- j^.

Donnons paaintenant à z des valeurs négatives ,. depuis z=s— ^.^^ jusqu'à « == -T- ^; la fonction (|— 4^) sera connue dans cet intervalle, ainsi op Ç9nn5\îj;i;a, la fouq^on (j4- 2) depuis z =;-^ ^^ jusqu'à, 2 = — . -^; de sorte que l'intervalle où la fonction (x) reste incoAhue se trouve de nouveau resserré entre 0:= | — —g^ et a? ss y -j- ~^.

On continuera de procéder de la même manière, en attribuant à z des valeurs alternativement positives et négatives. Si Tintervalle inconnu s'étend d'abord depuis x= | — « jusqu'à ac =s j -|- 4^> une première opération resserrera cet intervalle eutre les limites x=j — û>, •^=j + i«; une seconde opération le resserrera encore entre les limites x = ^ — - -j^ ûè et a:=s j -|-i^> et ainside suite. . D'où l'on voit que l'intervalle inconnu finira par s'anéantir dans la limite x =3 j ; et en ce point on aura , toujours d'après la même forÇuile,

5*. La valeur de la fonction {x) étant connue depuis ar = 0 jusqu'à a:=s -^ , pour la trouver depuis ^tr^ 7c jusque x ss :î, on fera usage de la

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-- CHAPITRE Xn. 45 1

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::=- io6. On voit dpnc qu'il est possible de déterminer la valeur de la foûo-

tion> XXy dans toute Pétendue .de la ^emiere |>4Fiode ^ et de là fxmr toute»

: ;^ ..^ valeur de x^ pourvu qu'on connaisse cette fonction dans une partie as$ez

petite de cette période.

La partie qu'il faut connaître est 7,^u(iind on ne fait usagê*qu9 de.l'équa?

"" tion (C); elle se réduit à 5^ lorsqu'on fait usage des deux équations (C)

---ri: et (D), et elle se réduit de nouveau âr ^ , lôi^squ'qn feît usagé des trois équa» " f =î tîons (C), (D)^.(E). Elle se réduirait ulléH'éurement en faisant usage de

-: .^ l'équation (F) et des suivantes ; màia là. proportion de cette héduotîon et

__^ la distribution des parties qui conduisent à la plus grande réduction , pour-

raient faire Pobjet d'un geriredêredherclies analytiques qu'il ne nous pa- -' — * raît pas nécessaire de conlittuer pliis^ioirii'Nbusi rious cbnlenteroAs de remarquer que les fonctions T se^ràpi^rdèhertt/|iareéi^'lhti 9és'f6tidtÎQns .: '^ :=- circulaires, logarithmiques et même elliptiques, quMl èuffit de connaître .: T^' w dans un intervalle aussi petit qu'on voudra, pour pouvoir Us déterminer : ; .jr r=- dans toute leur étendue.

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