i. pour tartgrd. 1, ,„.na,i B

Xa même opération peut .être £dte d'une aulre ijoani^,. ei^ .dvqmimwf^ successivement la valeur de a jusqu'à ce qu'elle devienne plus pet^ite qjip l'unité. On a pour cet effet les formules Y{\^ii)m^dîa^ r(3 4~^)==^ (i -4-d)flra, etc., d'où l'on tire

da a^^ da '

.ûKr(2 t+- rt .. I. M . I I dlTu ,

etc.

464 * INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

laS. & on désigne par. ^(a) la somme de la snite harmonique. • • • • I *|-i-i-7-|«^. •••-{•-, on aura par l'art. 82 1

La fonction f (a) sera donc aussi exprimée par l'intégrale définie

<P(«)=/^ÎT^- -^ (34)

Cette expression se vérifie immédiatement lorsque a est un nombre entier. En eSety dans ce ca» on aura

et l'intégrale de ce polynôme, prise depuis x=:o jusqu'à xss i, donne la suite 1+5 + 5 +^ désignée par ^ (a).

Ce résultat étendu à toutes les valeurs de a , en vertu de la continuité delà fonction 9 (à), aurait suffi pour donner l'expression de ^(d) en intégrale définie, et de là celle du coefficient difiërentiel \t7' y qu'on aurait trouvée ainsi sans le secours du théorème de Fart. 29.

I a4* Il résuUe de la formule précédente que^ toutes les fois que le nombre a sera ratîfonnel , la somme ^ (a) de la série harmonique pourra être exprimée par le moyen des arcs de cerde et des logarithmes, ce qui est un théorème assez remarquable.

Pour avoir la valeur efiective de f {a) dans le cas dont il s'agit^ on observera d'abord que par la nature de cette fonction, on a

M = î + <P(« — Oî

d'où il suit que la détermination de la fonction ^(a) se rédtaira tonjours à celle d^une pareille fonction dans laquelle a sera plus petit que l'unité.

Soit alors, aisz-- ..m étant <C ^9 et on aura, comme ci-dessus.

Les cas les plus simples peuvent être calculés directement par le moye» de l'intégrale définie. Ainsi on trouve

CHAFTIItE XUL 465

Lorsque a est infiniment petit , on aura Cette valeur se déduirait aussi de la formule

d^ cldlogr(i+a)

dont le second membre se réduit à S« ou -g- lorsque a s: o (art. i8).

La fonction p (a) décroit donc continuellement depuis a = i jusqu'à â s=x o ; die est ^ale à i dans la première limite^ et à zéro dans la se* conde.

Nous remarquerons qu'Euler a donné la valeur de ^(7) dans son Gilcul différentiel, page 81 4 9 niais d'après une suite infinie qu'il ne somme que dans ce cas particulier.

125. Si l'on différencie logarithmiquement les équations (C), (D), (£), etc., on aura diverses relations entre les coefficiens différentiels de même ordre de la fonction TÇx). Et d'abord l'équation (C) donne

dira rf/r(i — a) ^ ,„.

Ainsi le coefficient diflfêrentiel ^r J^^ peut se déduire du coefficient

différentiel -^p 9 qt^e nous r^rdons comme son complément*

Cette équation fiût connaître la différence de deux coefficiens qui sont, complémens l'un de l'autre, et elle a l'avantage de donner cette différence pour toute valeur de a rationnelle ou irrationnelle.

L'équation (5^) donnerait pour la même différence, cette valeur

dira ^^ dlrii-^a) ^ rdx s^^* — <• ^ da "^ d{i—a) ""J x * i — s ^

donc on a

466 INTÉGRALES EULÉIUENNES,

formule qui a lieu pour toute valeur de a, et qu'il est aisé de vërifier lorsque a est rationnel. Cette formule s'accorde entièrement avec celle du n^ 55.

126. Difierenciattt de mâme l'équation (D), et^changenit jp tn a^ on aura

Le premier membre se compose de deux différences qui se déterminent par réquation (3^), et dont les valeurs sont

dlVa dl r (aa) rdx x^ — ^

da d (aa) j x * i — x ' d/ r (i + g) dl r (aa) rdx^ jc«^ — y»-^^

Donc en faisant les substitutions , on aura la formule

/dx ^r^-f.*^"*"*— 2x** ,

De l'éqpation (E) on déduirait semblablement la formule

fdx ^ X- + xi "^^ + J"^^ — 3^ j^j

et ainsi des autres. Ces formules peuvent aussi se mettre sous la forme suivante :

et Ton. peut remarquer qu'elles sont toutes contenues dans la formule générale

/(T^7-T^ir)=^. (57)

1:17. Ce résultat est &cile à vérifier lorsque a est un nombre entier. En effet, appelons F(a) le premier membre de l'équation précédente; si à la place de a on met a -f- 1 , on aura

- . rsfdx x^ . rx^-'dx ^ /Uu^^-^-^it x^ , /*/>«»*-

MàiBon a ; — =5— •-^i et 1 . ^ *sss— — -t- /

'nx^^'-^dx