CHAPITRE Xm

Faisant ar=s i dans les parties hors du signe , et retranchant une intëgmle^ê f autre, on aura F(fl-f. i)c=5.F(tf), et par conséqsent F(a)=:F(i). Mais lorsque a = i ^ on a

faisant: ensuite or = i , on aura F(i) = //rj donc F(a) = In. La formule générale est donc démontrée lorsque a est un nombre entier.

128. Supposons maintenant 11=:'^ , ;? et ç étant des nombres entiers, si l'on fait X s^j'^, on aura

intégride qui devra toujours être prise depuis j^ se o jusqu'à 7*== 1.

Si l'on faisaitj^" = z, la valeur de F(a) pourrait se mettre sous la forme

FW=/(^-^').

c'est-à-dire que F serait la différence de deux intégrales de même forme et prises ekiftre les mêmes limites^ d'où il semble qu'on defvrait conclure que F est nulle. Mais il faut observer que les intégrales dont il s'agit sont toutes deoE infinies^ et que leur différence, qm peut être finie, dépend de la relation qui existe entre z etjr^ et ne pevit être trouvée que lorsqu'on aura écarté les infinis de part et d'autre.

Pour cela , je remarque que petq ^tent toujours supposés des nombres entiers, on a, par les règles de la décon^position des fractions rationnelles,

TS étant un dénominateur qui ne s'évanouit pas lorsque ^ =s i • On cnira donc l'intégrale indéfinie

f(jr) étant une fonction àej exprimée en arcs de cercle et logarithmes, laquelle est nulle lorsque^^sso, et ne devient pas infinie lorsque j^= i. On aura semblablement

f{z) étant la même fonction de z que^/) ^^ àej. De là résulte l'intégrale

468 hntégrâles eulérieniœs,

indéfinie

OU, ea mettant/? à la place de 2,

-)-h/lr)-Ar)-

Maintenant si l'on fait yssi^ comme on peut préalablement mettre ^^ SOUS la forme i ^y +7^» • •+/*"% on aura la valeur cherchée

F(a)=fo,

de sorte que la formule générale est démontrée h priori pour toute valeur rationnelle de a.

isig. Conndérons encore l'intégrale prise depuis x = 0 jusqu'à x = i ,

J\i — « ^^ log* / U = i;

si on la met sous cette forme composée de tnns parties

la première partie en vertu de l'équation (35) • ••=—€«— Z'a, la seconde s=5 log m ; il reste donc à trouver la troisième partie

et on aura T = — C— Z'a + log m 4- V. Lorsque n est très grand, cm a Z' (i 4* ^) s= log ^ 9 et par conséquent

— — - dix = C-|- log i>. Mais la formule (57) donne en général donc

mêmes

on aura