CHAPITRE XIU

Mais n étant infiniment grand , on a a:" = i — - log - , donc

dx dx

c'est la valeur de Pintëgrale V , telle qu'elle a été donnée par Euler {Nova Acta Petrop. , tome IV).

Si on la substitue dans la valeur de T, ou aura

i5o. Pour revenir à la fonction , , que nous pouvons représenter |>ar

7J{a) y on voit que les équation^ (C) , (D) , (£) y etc. y ne font connaître aucune propriété particulière de cette fonction, et qu'elles conduisent seulement à des formules relatives aux intégrales définies. Il ne reste par conséquent h considérer d'autre propriété de cette fonction, que celle qui est contenue dans l'équation (S^), et qui consiste en ce que, toutes le» fois que a sera rationnel , la fonction Z'(a) pourra toujours s'exprimer par la constante — C jointe à une quantité qu'on peut toujours évaluer par arcs de cercle et par logarithmes.

Nous avons traité fort au long des^éductions qui peuvent avoir lieu entre les fonctions log Ta ou Z(a), lorsqu'on donne à la racine a les valeurs succès-

sives -, -, - . • . -^-. Un semblable problème n'a point lieu relativement

aux fonctions Z'(a), puisqu'elles sont toutes déterminnbles, ainsi qu'on vient

de le dire. Passons donc aux coefficiens diflTérentiels du second ordre , J^.

que nous désignerons semblablement par Z"(a).

i3i. L'équation (Sa) étant difierenciée par rapport k p, donne, en met-^ tant â au lieu de;?,

ddlra

/sf^'dx l -

Développant la différentielle du second membre en série, et intégrant les différens termes d'après la formule de l'art, 5i , on aura

T. II. 78

470 INTÉGRALES JSULÉRIENNES ,

Cette formule et celle qu'on pourrait en déduire par la diflfêrentiation , sont les mêmes qui ont été données dans l'art. i3; et comme <m ne wa^

naît aucun autre moyen d'obtenir Hnlégrale / * , il ne résultera

de l'équation (5a) aucune propriété des fonctions 71' (a). i5a. L^équation (55) étant différenciée, donne

8in" aw

d'où l'on voit que la fonction Z''(i -^^d) se détermine par la fonction Z''(a), qui en est le complément.

Lorsque ^ = 1 9 la formule précédente donne 7P{ {)^si\ yr^. Lorsque azs^ iy on a Z'^i) ^=^l'^i en effet, la valeur générai» de V(a) étmt

Z lu) a» ^ ^ / V '\; "^ ^ ' , ;^ -+- etc. •

oette quantité, dans le cas dont il s'agit, ^ réduit à S. ou |^. Caat auM

ee qu'on déduirait des fiormoks.

Z'(i+«) =a — C + 8^ — S,a* + S4a« — etc. , ZVH-^) ^ S^— 28,a 4- SS^tf* "• etc.,

en fidsant a = o.

Pour avoir d'autres propriétés de li^^nction Z'\a)j on prendra la différentielle seconde logarithmique de Téquation (D), ce qui doqnera

Z''(«) + Z"(|H-«)-4Z'*(2fl)^o; (59)

de même la différentielle seconde des équations (E) et (F) donnerait

Z"(a) + Z"(| + a) + Z"(| + fl) 4- Z"(| 4- «) -+• Z"(? "^ «)-- ^SZ^CSd)» o :

«e sont let màaiM «quations qui ont servi à dërnootrer les équatiMis (D), (E),(E), etc.

Il résulte de ces équationa^ qu'on peut faire sur les fonctions Z" les mêmes réductions qui ont lieupotir les fonctions F, c'est-à-dire que si l'on

considère les fonctions successives Z'' (^ , ^"vj' • • • ^' V~^~/» ^^ ^WCtions se détermineront par le moyen d'un certain rymkn d'«pti^ ^dJaa» «t ce nombre sera en général le même que celui des nonibrcs premiers à n et plus petits que (n. Ai99λ dtniie pa» de nss i^^ dcnsides transcendante»