CHAPITRE Xin

27'(^), Z^(^)....Z''(îfi), suffiront pour dàefmmer toutes les autres: ces deux transcendantes se trouveront d'ailleurs par la même méthode qui a été employée à l'ëgard des fonctions ri

i55. En efiet, si Pon désigne , pour abréger, la fonction 1! T— J P^** W > FéquatioD (38) d<mnera , en feisant — s= û» ,

(i) + (n) =;;^ = 4«Xa+ »/5), (a) + (lo) = i(n% (5) 4- (9)=*^»

(5) H- (7> =5^- = 4»'(a- •S), on aura ensuite^ par l'équation (Sg), les deux conditions

(a) + (8) - 4(4> « o, et par l'équation (4o)y cette autre condition ,

Ces neuf équations permettront de déterminer toutes les * tnmaœndaotes dont il s'agit, par le moyen de deux d'entre elles. Par exemple > si l'on prend pour données Z''(yj) et 2*^ît), que nous dés]g[nons par (i) et (a), les autres transeendaMes ae détennineront ainsi :

(5) = (0-4(a)-t.4WCa-|/5),

(9) = ÎW— iCO-^'r-Cf + f i/^, (io) = — (a)+4îr', (îi) = — Ci) + 4w'(a + i/5).

U ne reste, pour la détermination absolue de ces quantités, qu'à connaître 2'Xt;) ^^ '^^ {t:)' ^onv cela , il faudrait pouvoir sommer les suites que ces ^pMUMttés roj^éMirtent^ savoir :

472 INTÉGRALES ElflLÉRlENNES,

On pourrait aussi déterminer ces quantités par les intégrales définies

Zt^) = 56

Mais la difficulté d'exprimer ces intégrales autrement que par les séries précédentes, rend ces expressions peu utiles.

Lorsqu'on voudra obtenir ces valeurs par approximation, on y parviendra aisément par la formule de l'art. 37.

i34* Considéi*ons maintenant le troisième coefficient Z'^(a)=z—^^ ^ on aura d'abord, par l'équation (€),

' 8111 CPf

ce qui délermiDe la fi)nction Z'" (i — a) par son complément Z'" (a). On a ensuite, par les équations (D), (E),''etc.,,

Z'Xa) -f- Z"'a + fl) - 8Z'"(aa) = o,

et ainsi de suite; ce qui établit^ les mêmes réductions entre les fonctions Z'^(à) qu'on a obtenues entre les fonctions Z"(a).

LfC cas de a= I donne, par 1^ formules de l'art. iSa, Z"'(i) = — aSjj si dans la première des deux équations précédentes on fait a=:-^, on aura Z"'(x) =s 'jZ"^!) =— i4Ss ; enfin , dans le cas de as: -J , on aura les deux équations

ce qui détermine les deux transcendantes Z'^(}) et Z'''(|), par le moyen de Z'"(i) ou de S„ Toutes ces solutions reviennent à celles que nous avons déjà données

. CHAPITRE XaV. 475

ou indiquées dans les art. 36 à 40 ; mais on voit plus dairemént dans cette nouvelle méthode la série des ojpéralions, et on connaît le nombre de transcendantes nécessaires à chaque solution, nombre qui a été fixé par la régie de Tart 118.

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