CHAPITRE XIV
Divers exemples d interpolation .
i35. JiiULER, dans le chapitre XYU de son Calcul differenjtiel , a résolu divers problèmes d'interpolation par des suites infinies dont il ne donne la somme que pour le cas de n s= 7. Nous allons faire voir que cçs interpolations peuvent être efTectuées d'une manière plus simple et plus générale au moyen des fonctions F.
Exemple I. Supposons qu'il s'agisse d'interpoler la suite dont le nf^ ternie
estN=:i+7-l-j.«** + -; l^^questibn est de savoir ce que deviendra N y
lorsqu'on donnera k n une valeur fractionnaire quelconque.
- Nous avons désigné (art. laS) ce terme général par ^ (n), et nous avons fait voir que ^ (n) est donné par la formule
cette intégrale étant prise depuis xss o jusqu'à jp = i . On pourra donc déterminer ^ (n) par les arcs de cercle et les logarithmes, toutes les fois que n sera un nombre rationnel. Dans les autres cas , on déterminera (p (n) par la suite
<p(/,)=:C+lr» + ^-^ + -|j-^ + etc.,
OÙ A', B', Gj etc., désignent lès nombres Bérnôulliens. On pourra toujours faire en sorte que cette sviite converge rapidement dans }es prçœi^ termes ^
car on a 9 (») = ^ (n -f- i) — ^ ^ ^ Ainsi ç (») peut êtrç déterminé par
474 INTEGRALES EULÉRIEINNES ,
p^pi^k)yk éian t ma entier qui pourra éUe pris asMK grand pour que b qdi détéroûne 9{n^h) $àt ]m wm&ûom vequrns.
1 56. Exemple II. Soit proposé dlntcrpoler la suite dont le terme général ou le »***• terme est
Puisqu'on a ^^^\= ^ -j — ^^^7— — r > ^^ voit que ce cas se ramène au précèdent , et que l'expression de N pour toute valeur de n , sera
Ainsi on pourra déterminer N par les arcs de cercle et les logarithmes ^toutes lés fois que t + ^ &ura une valeur rationnelle.
iSy. Exemple III. Pouf interpoler la suite dont le terme général N= I "f"-7"t-3?-t-7?»» .. -t- "7 > on pourra se servir de la formule
et appliquer les réductions propres à la fi)nctiaa~ jû" >' <^^^i^ laquelle on
£3raa:s=sA.
Dans les cas où cette fonction ne pourrait s'exprimer exaeteaient en vertu de ces propriétés, il feudra, pour trouver la valeur de N, avoir recours a la série qui vient des différentiations répétées de la ftrmule
^^(^+^^c^^^C4-^,3?~S|X^+S^~etc.
Mais comme cette formule suppose op < i ^ il £Midra prénlabkmeat ramener le cas proposé à celui où /i est ^ i ; ce qui n'a aucune difficulté, puisque N étant une fonction de n qu'on peut désigner pary*(»).^ on aura
t58. Bâtempie IV. Soit proposé d'interpoler la suite dont le terme gêné-
CHAPlïHBXïy, * '475
Lorsque /i est un nombre entier , on a Donc le ternie général N a poar expression
rG'f"4'0*r(j4-'J
valeur c[ui pourra être employée quel que soit n.
Si l'on propose , par exemple , la suite ^ , ^ , ^V;^ , «te. , 400 torme fé^ néral sera
Ainsi pour l'indice 1» = ^ , on aura N = - tjtî ^^ - > pour l'indice n = | , on
aura N = jrrpi *^ "ï/" • p? > ^alwr qvi pourra •« réduire ultérieurement par la relation connue entre F | et F |.
'Soit encore la 3uite x, i^, FT ; ^^' » l'wprçssion dç son terme géQ4-
rai sera
Ain^i powr l'ûiâiQe tu» ^ > on maam W :3s jrrri ^^77^* F^* P®^ l'indict nanf,
on aura N = rrrrâ = > „ , „» = — — -^— s= -f— .
iSg. 11 est bon d'observer que la question d'interpoler une suite donnée est susceptible d'une infinité de solutions, quand ofi Tenvisage analytiques^ment et sans application à un objet déterjnîné. En effet, soit N le terme gé^ néral de la suite donnée , terme dont la valeur est connue lorsque n est un entier, et soit ^ (n) la fonction continue égale à N , dans laquelle on peut mettre pour n un nombre quelconque entier ou fractionnaire ; si au Keu de V
on prend ^^ ^^^ — , « étwt un 99^^ qu^lcoAqu? > pourvu qu'il ne- soit
pas zéro , il est visible que la suite résultant de ce terme général ne dif** fércira pas de la suite donnée. Qii {KMirrftk di>ac^ |u lieu de <!> (n), prendre
9 (») . ^Î2i?2^4l1i , valçur ^W différçrait de * (n) lorsque n n'est p.a* entier.
Qd ffmmàt »4»t frandve phas généralement, au lîtn de • (n), i'exr
476 INTÉGRALES EULÉRIENPÏES,
pression
. . A + B ain (a BIT 4- •) + <^ rin (a wr + 0 + etc .
*W- Â + Bsmtf + Gsmf + etc. *
et une infinité d'autres qui se rc^duisent à * (n) lorsque n est entier j ce qui donnerait une infinité de sotulionô diflTérentes de celle qui est donnée par la
fonction continuel (/i).
On pourrait appeler fonctions ondulées y les fonctions ainsi aflfectées d'un facteur qui se réduit à l'unité pour toute valeur entière de n. Ces fonctions serviraient à expliquer quelques paradoxes qui peuvent se rencontrer dans les applications de l'analyse.
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