CHAPITRE m

rf"U

de otrf, on convienne que chaque terme Ua"*?" sera remplace "pur a". "^^

Dans celte bypotbèse , on aura successivement

U' = Ve^ , V =3 D'e*^ , U*" *» 13"«^ , etc. ç de )k résnllent les différences premières,

«TU =U(e-^— i),

«ril"s=U"(e«'— i), celles-ci donnent les différences secondes ,

etc. j et en général on aurfi

Au moyen de cette formule , la différence finid d'un ordre quelcon<pte de la fonction U peut s'exprimer par les coeffioiens différentiels de cette même fonction. En effet si on suppose

(e* — - 1 )■ sa or" ( I + A'or + A"ar* + A""«» + etc. ) ,

on aura en même temps

«r-U « «•. ^ + A'«"*' . ^ ^M^af^',^ ^ etc.

690. Réciproquement on peut exprimer tes coéfficiens différentiels ^z »

"S* ' '^ ' ^^^* ' ^'^"^ fonction U ^ par le moyen des différences jBnies de

cette fonction , prises en donnant à la variable <p l'accroissement constaût a.

Pour cela je réduit l'équation syiidi>oUque ^ ^=t7(^ — i)àla

forme

J^s.««rf— IJ j'en tire

et àCdon

*-^="uiog(,H-<r).

CeCle nouvelle équatipii suppose qu'dptès avoiff développé le ëtdônd tAetH^

bre suivant les puissances de cT^ chaque terme UJ^"* sera remplacé par Ja dilTërence J^"U; on obtiendra ainsi

A^ = crU — iJ^U+l-J^U — icT^U + etc.

Cest la formule connue qui sert à exprimer le coefllcient différentiel d'une fonction par les différences successives de cette fonction. Ainsi et étant assez petit pour que la suite des différences cTU, cT^U, cT^U, etc., soit très

convergente, on déterminera le coefficient ^ avec toute l'exactitude qu'on peut désirer.

6gi. Si dans l'équation symbolique a ^ = U log (i + J^) , on met

j- à la place de U, on aura

d'où résulte *

Ob aurait de même a' 'j^r^ U Z' (i -+- cT), et en général ,

de sorte qu'un coefficient différentiel quelconque ^- peut s'exprimer fo-

cilement par les différences finies de la fonction U , en supposant connu le développeAient de Z" (i 4-^)"> q^i désigne la^ puissance « de /(i +x). En effet si l'on a /■ (i +jr) ou

on pourra en conclure

A- ^ == <r*U — N'cT-'^^U + N^»ef-^nJ — etc.

69a. Supposons maintenant qn^on ait Uc=7^^ ^^dÂ^^^^ ^^ valeur de au exprimée par les différences successives cTU, «T^U, «T'U, etc., sera

£Mi = crU — icT'U + icTHJ — etc.

Dans le cas où l'on veut construire une Table des valeurs de U , la quantité u est connue pour chaque valeur de ^, et en faisant varier ^ de