CHAPITRE m
OL f on connaîtra les dîfierences successives de u. D'après ces différences , il sera possible de déterminer en général la valeur de J^U.
En effet , soit ami = i? et 77 — ; — r ou
; — -J^— z=i+k'x + K'x^ + k"'x^ + etc. ,
I— i* + 3*^— etc. I • r • >
l'équation précédente donnera
J^U = ;? + A'J)? -I- k'S'^p + A'V> + etc.
Ainsi cTm se déduit des quantités données p^ ^p ^ S'^p y etc. y par une suite dont la loi est connue.
Cette même suite donnerait les différences ultérieures J^^U , cT^U , etc. , par les formules
<r*U = <r/? + k^y -I- k'^^p + etc. , <r«U = S'y -H A^cTV 4- etc.
Mais ces suites, pour déterminer cTU, J^^U^ J^'U , etc., peuvent être rendues plus convergentes par un moyen très simple.
693. Soit V ce que devient la fonction Uy lorsque au lieu de ^ on met ç + > ^ 9 on aura suivant la notation précédente ,
pourvu qu'après avoir fait le développement du second membre suivant
les puissances de S'y on remplace chaque terme a^"* par -^-^^ .
De là résulte av = aa (i + à^Yy et parce que etu ^s VI (i + cT) ,
on aura
Mais en effectuant le développement jusqu'aux a:^, on a
(i+a:f l(i+x) =ar r-^ + A^ — 7^ -^ + r^JC* — etc.;
donc
Conservons le premier terme ^U de ce développement, mais substituons dans les termes suivans la valeur U= U^ + cTU'', nous aurbns ' ' '
46 Construction des tables elliptiques,
Dans cette suite, conservons les deux premiers termes J^D — —. ^^\^^ ^ et
substituons dans les suivans U** -}- cTU®* à la place de U* , nous aurons de nouveau
*" = ^U - ^ J^»U- 4- 815 «r»U" - etc.
Cette suite prend ainsi une forme très convei^ente, mais il reste à s'assurer de la loi que paraissent indiquer les premiers termes, et à déterminer d'une manière générale celle de leurs coefficiens. Il faut donc faire voir qu'au moyen des coefficiens ri ^ ri^ ^ n"*^ etc., dont la loi sera déterminée, on aura généralement
etp = cTU — n'cT^D^ 4- /t'^cT^U** — «'''cT'U^'* + etc.
694. Reprenons pour cet eflfet l'équation symbolique (t -^=UZ(iH-if) ou rttt = U / ( I -f- J^) , on en tire
Mais d'un autre côlé on a
donc
TTC H. TTo» — — — U""* — Pic •
JVSTTo — -
JNSIlOo » *"^
De là on voit que la suite «TU — n'^^X]" -f- «VU*» — etc. , est représentée par
?ïï+3) •(H^f?(îT3ô"^'* 'UTSrïU+F)'^ •ô+îFïïrp)*^®'*'-
Si d(Hic on veut cpe cette suite soit équivalente à av qui est représenté
j par cui ( I -f- cT)*, il &udra qu on ait l'équation identique
/(i + <r) = — ^— »'.-^+i»".— ^1-»'".— ^ + etc.
CHAHTRE IIL 47
Soit jj^j = a*> le second ineoibre devient % — n'z^ -|- «V — etc. , et le premier se réduit à 2/ [^ z + {/{i + ^ z*)]. Or on sait que
et qu'ainsi la quantité 2 log [^ 3 + ^^(i + 5 ^*)] se développe en cette
suite "y
donc l'équation supposée a effectivement lieu en donnant aux coefficiens /i', n", n'", etc., les valeurs
, I I ff r . 3 1 ,/. 1.3.5 I
donc on a en général,
i.,, 1 iT^U^ , 1.3 J^^U**» 1.3.5 /'U««« , , ap = J^U--.3— +^.-5-^-5^.— ^ + etc.,
série qui procède saivant une lot évidente, et dans laquelle chaque coefii* cient est moindre que le quart du précédent.
695. Si on fait a(^ = P, et qu'on désigne par P*, P***, etc., ce que devient la fonction P lorsqu'au lieu de ç on met (p — ot, ^ — 2a, etc., on déduira de l'équation précédente une valeur de J^U de la forme
J^U = P + m' J^*P- + m"J^P^ H- m'V^P"** + etc. ,
et les coeiBciens mfj /?/*, m'", etc. , se déduiront des coefficiens «', n!'y n'", etc.^ au moyen du développement de la fraction
; ^ ' ^ , , , = I 4- m'x + m^'x* + w'^x^ + etc. ,
I — /lX+7» X* — » JT+etc. • ' '
de sorte qu'on aura
m"' = /rf'/i' — mV + /r^^' = J^-.
etc.
Ainsi la valeur de J*U s'exprime par la fonction P, au moyen de l'équation générale
/U = p + -l-^ <r-P- - ^ ^*F" + ^- ^^- - etc. ,
laquelle pourrait être continuée , suivant la même loi , aussi loin qu'on voudra.
696. L'équation par laquelle la fonction au se déduit de U, peut être représentée ainsi y
cti' = au /[i«r+»/(iH-i<r«)],
pourvu qu'après avoir développé le second membre suivant les puissances de J^, on change U J^ , UJ^% UJ'*, etc., respectivement, en «TU, J^U*, J^^U"% etc.
Au moyen de cette équation , on en peut former d'autres non moins remarquables.
Désignons par U(^ + 7a)ce que devient la fonction U ou U (^), lors-
qu'au' lieu de ^ on met ^ -f- f a ; alors on aura u = ' ^ ? ^^ ^'^"
quation précédente donne
Dans celle-ci mettons encore ^ -f~ t ^ ^^ lî^u ^ 9 ) nous aurons
diSérentiant de part et d'autre par rapporta (p, et observant que U ( ^ -f- a) n'est autre chose que U', on aura
OU en substituant dans le second membre la valeur de — LllilLfJ
«•^ = 4u^[i<rH-»/(n-i<f-)].
Mettant dans celle-ci (p^^a^u lieu de ^ , on a enfin
Supposons donc qu'on ait 4^* [i J^+ V^C • + i «J^')] > «u
4 STa* 2T4T6 * 5 et la vraie valeur de ** jj ? déduite de notre équation symbolique, sera
