CHAPITRE XTH

nombre de termefr subras, randeot tvès difficile le cakol pmr b fenmde (55) de la» fooctioil tj pour une valeur de x aussi petite qu'pti' F» mpposée , et la difficulté augmenterait toujours à mesure que x serais supposé' phxs petit.

169. Pour obvier à cet încdnvénîent, on pourrait faire usage de k méthode des quadratures; mais on peut aussi, par d'autres formules, éviter ces calculs de quadrature, qui sont toujours très longs, surtout dans le cas dont il s'agit, sîl'on voulait obtenir un certain degré d'approximation. Et d'abord la formule (5o) donne, pour le cas de as=o^

^ =" î — 5 "^ 7 — ^ + -^— etc., (5S)

formule qui sera d'autant plus conver^nte d^n& lea premiers termes, qjuke z sera plus grand* Mais comme le ial^^'^ terme de cette série est ^1 au précé-

de»t nnikiplié par , on voîk * que k suite deviendra divei^ente dès

qu'on aura n — i ^ z. Ainsi, dans le cas de z = 10, dont nous avons déjà parlé, la suite sera divergente dès le douzième terme.

Pour apprécier le degré d'exactitude que donnerait k formule, dans le cas dont û s^'agjt, il Caut observer que dans une suite telle que k précédente, qui doit s'arrêter aux termes à peu près ^ux T — T', la somme totale est connue, à une différence prés de^ T environ. En général, soit ar = e*"" ou z=:/», l'erreur sur la valeur de Z aura pour limite....

€ = -J- . — j:s=ï. — . e ", ce qui donne en logantnmes

vulgaires log € = — imn — | hr^ rH'^i^ étant le module o. 4^4^ , etc. Il s'ensuit que la valeur de Z déduite de la formule (55) sera exacte jusqu'à la dédmak* de^ Fondre *, si l'on a k ^ssrsmn + j^ In — ^ /| ^, et pa? conséquent si — mn ou log or = — 7 A: + 4 ^ — •

L'approxinnKtîaa obtenue- pan la £u*D[iple: (55) est donc de plus en plus grande, à mesure que z est plus grand ou x plus petit; elle donne neuf décimales exactes pour k valeur zsb lo ou jt sa o.oooo454, mais à me* sure que x augmente , l'approximation diminue et devient bientôt insuffi'^ santé, comme on l'a vu dans le cas de or =s o. 01 ( art. 16a).

n nous reste à déntesitrer uaettffpietème formule dont l'application s'étend depuis les plus petites valeurs de x jusqu'à celles qui permettent d'emplfoyer avec avantage k formole(55). Cette troisième formule, qui s'exprime en fraction oonCinue, est connue depuis long-temps dea Anal^sfes; mais

5o8 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

ih ne se sont pcnnt occupés d'en rendre le calcnl facile, ni de fixer le d^ré de prédsion dont elle est susceptible, suivant le nombre de terme» auquel on veut s'arrêter.

§ m. Expression de P Intégrale T(ayX) en fraction continue. .

1 70. Considérons en général la fonction Z =: T (a, ar) =zf2!"^*dXy dans laquelle nous supposerons a positif et plus . pedt que l'unité^ ce que Ton peut toujours obtenir par Tapplication de la formule (48) ; Fint^le Z étant prise à compter de x=:Oj la quantité «••■, où a— i est n^tif, sera plus grande pour la dermère valeur, de x que pour les valeurs précédentes, de sorte qu'on aura toujours Z=£*"""arT, T étant en général une quantité plus petite que l'unité, mais qui se réduit à l'unité lorsqu'on suppose X infii^ent petit. Si l'on différencie cette équation et qu^on substitue les valeurs rfZ=2*~'<ir, dx=-^xdZj on aura , pour déterminer T, l'équation différentielle ^

g-(t-«)7-T+.=o, qu'il conviendra de mettre sous la forme suivante, en foiaant a =s 7,