CHAPITRE XVII. 5o
{«rfr yg4-i .y/y 1
et on aura en même temps k=:S'.
173. Il suit de là cpie, par des substitutions répétées , on obtiendra des transformées successives en T', T'' , T'", etc., qui seront liées entre elles et dont les coefficiens seront déterminés par les équations suivantes:
On pourra donc eiprimer la fonction T par cette fraction continue
T=i:(i+(**+0:Ç(i+(i+0Ç:(i+(i+«+QÇ:(i+(a+C)Ç:(i + etc;(58)
où il faut remarquer que les dénominateurs des fractions composantes sont tous ^aui à l'unité, et que les numérateurs forment la suite , 1 i
(*+eX, (i+^X, (ï+* + eX, (2 + ex, (a + «H-eX, etc.,
dont la loi est telle, que les termes croissent alternativement de (i — ct)( et de af •
Cette expression sera l'intégrale de l'équation difiërentielle (57), si toutefois la fonction cherchée T doit vse réduire à l'unité lorsque Ç = o.
175. Cette condition étant remplie dans l'équation proposée (56), il y aura lieu de lui appliquer la formule (58); c'est pourquoi faisant as? i -««a, C=o, on aura, pour l'intégrale générale Z = /z*""'ûKr, celte expression en fraction continue :
Z=a:a— :(i+(i-aX:(i-K:(i-K»--oX:('H-aC:(i-K5-«X-l-etc.,(59)
011 l'on voit que les numérateurs des fractions composantes forment la suite (i — Q%^ Ç, (2 — nX, sÇ", (5 — «X, 5Ç, (4— «)Ç, etc., dont les termes croissent alternativement de aÇ et de (i— a)Ç.
5 IV. Application à V Intégrale r(o, oc).
174. Maintenant si l'on fait â = o, on aura, pour le cas particulier de l'int^rale Z = / — , celte troisième formule
T. IL «5
5f o INTÉGRALES EULÉRŒNNES ,
où Pon voit que les numérateurs Ç, Ç, aÇ, aÇ, 5Ç, 3Ç, 4f * etc., croissent alternativement de o et de Ç.
Il n'y aura lieu d'employer cette formule que pour de très petite^ valeurs de x, qui laissent encore Ç assez petit; car^ par exemple^ pour la
valeur j: = ^=: o. 01 83, qui donne a==4etÇ=s^, oh pourra employer
indifféremment la Formule (53) , qui ne cesse pas d'être convergente , ou la formule (6o) ; 1^ choix de Tune ou de l'autre dépend enoore d^ d^^rë d'approximation qu'on veut atteindre , et qui s'obtiendra plus fiicilement, tantôt par une £>r9ulf3, tantôt f>ar l'autw. Pour mieux en juger, {1 fliut fiôve voir quelle est la meilleure manière de calculer des fractions continues tellies que la formule (6o), dans laquelle les numérateurs augmentent à Pinfini, tandis que les dénominateurs nsstent ^aux a l'unité.
175^ Soient ^, 5^ ^ ^ ^^^^ (r$ûtwufi copMculiv^ ^pû nésoUrat du €àkvl de J«t ImaUoaiimitifiiie^ wéonté suivant ks tâglta ordîo«res«A s'ar* rétant à la fraction composante -; on aura, d'après la loi connue,
P'sP+^po, Q'=Q+;tQ»j deUP'Q--PQ'=f<P*Q— PQ^),
ou
p po
Supposas la diSrence ^ — ^ positii^ s??B.o ; ou yjpit qw k <ii£$Feiice
P' P Mirante] q^ •^ 5 ^^^ négative j en Fappelant — R , on aura
On parviendra donc à la valeur ^ , en calculant par cette formule une
suite de différences r^ r^jf^' K% R, qui« à partir du premier terme A
de la série , s'appliqueront altenidtiyemeat eu plus ^ m mow au rémk^t de tous les termes précédens ; d'où l'on conclura
£=A — r-f-r'— +RO— R.
Les signes des différences seront toujours alternatifs , tMt que les indices /A seront positiâ, comme dans le cas proposé. Ou obtiendra donc ainsi des
GHAFITRE XVIL Sii
résultats alternativement plus grands e* plus petits que la vdfiur totale que l'on cherche , ce qui donnera à chaque instant une mesure du degré d'approximation auquel on est parvenu. Lolrsqu^il ne manquera plus qu'une ou àmxx dédiMtoi pour obte^iir te éegtê désiré , on pounrft s'anrétér à k davnidré différ^ioe Calculée R y tt supplétr ma% différencts i«ûf atitef R', K\ etc., en considérant la suite R% Rf h!^ RI' comme une prtigrcuhm géométrique ( datas cette hypothèse, faisant RcssoR^ on amti.^^.*»
R— H'-l^ BT^ etc.s^î R(r — a^-^*— eîc.)t:si j^î ainsi, au Heu dé k
Ry on prendra 7' > 1?^^ plua d'eMCtîtodey on pourrait avonr
cours ûWL trois derniers tenues R*^, R*, R, et fâîsairtR^sssa'R**, RsstfR^, <m supposerait par andogie R' st^ eeH, et Pon déduirait le rapport e^ des deux rapports coottus »% «^ par l'équatiott lo§ mf sas !2log ^«^log m^i en^
ri
suite, au lieu de R, on prendrait . ,.
tjB. Pour calculer facilement les différences R et éviter en même temps l'embarras des grands nombres auxquels conduirait nécessaîreilaenti dans ces opérations, raôcroissemeut rapide des indices fe, voici comment il i*audra procéder.
Soit la fhiction proposée 2=X:(i + ft:(i4-f*i*Ci+/^*»(^+A^5(iH-€tc.; les premiers termes, calculés à la manière ordinaire, sont :
et la série £srmée par la difier^ice des termes consécatift cootmanm «ipsi :
PoMT lu ootMinaer iiAéfimknBnt» ou prendca dei aaxiiaite» %f A, f^yA^^ 6,) A,, etc.) d'aptâs la loi sairaiiU, qm «omprené «tfitf des ^ifi^ R,R., R., etc.,
ô, = /*,x, X, = -jj^» Ri «= ïwA»
etc. etc. etc.
5 1 2 mTÉGRALES EULÉRIENNES ,
Cela pose, la valeur de Z se calculera par la saite
Z = X — R r|. R, — R. -f- R3 — R4 H- etc.,
qu'on prolongera jusqu'à ce qu'on ait obtenu le degré d'exactitude désiré.
177. Ces calculs 9 comme on voit, sont très faciles à feice par logarithmes f toute proliiité et toutes opérations inutiles en sont écartées; il suffira de calculer les termes X, R, R., R^^ etc., avec une décimale de plus qu'on n'en veut avoir dans le résultat, et l'on prolongera la suite des différences jusqu'à ce qu'elles appartiennent à l'ordre de décimales qu'on peut négliger, on seulement ju^ju'à ce qu'elles approchent de cet ordre ^ puisqu'on peut tenir compte des termes suivans par le moyen que nous avons indiqué.
Il est bon d'observer, au sujet de ces calculs logarithmiques, que pour
déduire chaque A du ft correspondant, par l'équation -es i -4- 0, on pourra
faire usage des formules souvent mentionnées log 6 = log adzd^ d = »
logD=log(aûP)db7éf , d'où résulte log(i+8), ou — logA=log(i-|-a)=tD. On prend pour a le nombre de la table dont le logarithme approche le plus de \o^ 6 \ il suffit que a ait au moins le tiers du nombre de chiffres significatifs avec lesquels R doit être déterminé; mais il faut que log(i +a) soit aussi donné dans la table iùîmédiatemént et sans interpolation.
178. Comme on a en général R»s= R,g • *> , il est évident que les
difiërences R, Rg, R'i^, etc., vont continuellement en diminuant, dès le commenceitient de k série, ce qui est une suite de ce que les indices jee sont supposés tous positifs ; ainsi à mesure que la suite des différences est pro longée, l'approximation augmente de plus en plus, pourvu que les différens tçrmes, A<^oiiipter du premier X^ soient calculés jusqu'au nombre de déci-^ maks qu'on veut obtenir dans le résultat, ou même au-delà, pour obvier à l'accumulation des erreurs.
La formule (60) est doue propre à déteriâiiner l'intégrale Z pour de très petites valeurs de ^r, sans être sujette aux inconvéniens que présentent les formules (55) et (55), la première ^ea oBrànt des termes divergens dès le commencement ,4,^ 1^ s^e^ et fort ^rands^par rapport au jcésultat cherché; la seconde, en amenant assez promptement une divergence qui limite beaucoup l'approximation etla rend souvent msuffisaotcOette- formule, cependant, est loin de conserver son avantage , IcM^qu'on l'applique à des valeura de X qui passent une certaine limite j car sa marche se ral^itit de pliHi^en
\ CHAPITRE XVIL . 5i5
plus, à mesure que x augmente, et h) formule (53) devient fort préférable, surtout si l'on a besoin (Fnne grande approximation.
1 7g. Pour mieux apprécier la formule (60) , essayons de déterminer combien U &udra calculer de termes de cette formule, afin d'obtenir la valeur de
-^ avec un nombre i de décimales, ou de manière que l'erreur soit moindre
que 10^'
On remarquera d'abord que le n**"* des numérateurs Ç, Ç, aÇ, aÇ, 3Ç, 5Ç, etc., peut être représenté par ^(/i + sin^-î/j^); or on a fl,s=/^,A,,, ou ô,(i 4-ô^i)=ft,; donc Ô,(i4-fl«-i)=K('* + sî^*î'*^)* De là on voit
que 6» a pour Umite (ÎÇn)?, et qu'ainsi lorsque n devient un peu grand, on peut supposer 8, = y^ij^n).
Soil log R. = U» , lequation R. = ^u^XK donnera U, = U,, + / —^ 5=:U,»i — pssU,^, — \/v>T"y> ^'^^^'^^ déduit la valeur approchée
U. = const. — 3 y/(^).
Ainsi, à mesure que n augmente, le logarithme byp. de R« approche de plus en/plus de la limite: const. — 34/^7-^ J, et son logarithme vulgaire,
delà limite : const. — am \/(^)- Si l'on veut donc que cette limite soit
— i, on aura a/w i/Tr^ssconst.H- 1, ou àpeuprès7i=|M*C^'*,Métant
le nombre ^.SoaS, etc. Cto voit par conséquent que le ^nombre n aug^nte en raison du nombre Ç, et aussi en raift(Hi du carré du nombre de décimales qu'on'veut obtenir*
Soit, par exemple, a?=o.oi , ce qui donné «=5/ 100= aUf , Y =-4î; on
aura à peu prés 11 = 7^ M/*; dans ce même cas, xÇ = — 5=0.00347; donc
si l'on veut que Z soit déterminé avec dix décimales exactes, il &udra feire 1= 8 , ce qui donnera Tstss 4^ ts:g.2; donc il suffira de 9 à 10 termes de la série des R, pour obtenir œ degné d'exactitude. Si l'on veut vingt décimales exactes, il &udra &ke ^'s:c 18^ ce*qi^4}onnmra n^ssz^^S; ainsi fe^série^s Rdeyrait-6tre prolongée jusqu'à 4&oa 47 terme&j ;^^'. ^
Sillon feit «•==9.1 , Casera ëgaLiKin et l'on, auru ns; lJiIi*:>dans ce même cas, xÇ= 0.0434 ; donc, si Ion veut déterminer Z avec dix décimales exactes, il finidra^ Mte isso, et l'tm aura /is 33 • Veit-à-dire àn^ faudra
9 1 4 INTÉGRALES ëULÉRIENNES ,
càlcukt !M!à on 2i termes de la série, et pout Tàfoit atee vifigt décimales, il en faudrait calculer plu^ de loo. La ^mtile (â^) éïigét*alt MUstsi etiviruft ai termes dané le premier cas, et seulement 3& daos le seeoodi Mcm» aîmiterons qu'A ^al nokûbre de teroocs^ l'untge de k ibrmiile (63) tsi pnilétaUe, parce que chaque terme se déduit très simplement du précédent.
i8o. Pour faciliter le calcul des fonctions Z, dans tous les cas où x n'e^t pas très petit, nous joignons ici une table des valeurs de la fonction V, cal-^ ôulée poUr tôuteâ les valeurs de x^ de centième en centième, depuis à^Sti.oo jtisqu^à ar=o. Il nous aufdit été ^alemetit facile de donner la fable des fonctions Z, puisque lu somme Je Ces deux fôùctions est égale à la €fâiaiitHé^^f{i -^^), donùée immédiatemeM dads la tdbflé éeé IdgaÂlhftté» hyperboliques. Mais l'interpolation pour les valeurs de A? pett dHfêMtAM de l'unité serait d'os calool difficile êi peUi nact dans la table àm fimctioto Z , tandis qu'elle est très facile dans la table des fonctions Y. D'ailleurs, connaissant V, on a immédiatement'Zss/r— — -J — V.
Le calcul de la table déé fonctions Y A été fait par la formule (54) ou par une formule équivalente, depuis a:c= i.oo jusqu'à xz=zo.8o. Pour les valeurs suivantes, depuis a:=o.8o jusqu'à ar = o.o6, nous avons préféré d'émpk>jref là méffaode des ôrdtonée» ttioyetitiés, cottigée pour ié^ déT&iètiH valeurs de Xy comme on l'a expliqué (art. 9 lB)é Enfin les. cinq derniei:» termes, à compter de xs=:o.o5, ont été calculés pat la formule (6o), qui donne la Vrièut de Z , â'oô^l^DIl tit^ ^lè de Y.
hSt^é Vkkk&^pfûkààoA delà taUe des fcmctions Y se ftra è I\>rdimbe^ par kl série des diffiifenoesiy la#t{q«e ^ aesera pas pèus petit qdeo. lo; îi deviens dra seulement nécessaire d'avoir égard aux diflTérences du jàmfmimi^ tm même du sîxîèjme orcjlre ,. lorsque x approchera de cette limite, et dent ce cas, it conviendrait d'employer la série des différences dans l'ordre de x
L'iotei|»oiatioi]| p^ aassL «e faire «e^à ^fiéfiil ^ pat «ikM l^pmule dont Papplication s'étend jusqu'à des valeurs assez fe^^s^Wi
$eit 4i le 0om}HPe de là taMe qdi «pproehe èe pi» de k «v^étif donnée JM^fl ' eif 0& ^i^idbt krvvdeur oevlDeifoiidajîte de Y(ie)y et par to«eétpMait celle de Z(a); il ne s'agit dette ^oe^'airobia dtféiew^ej^ttsK^^^
PW» Cela *)}fcit^f**, Cé^qui dônnè^^tîiî/— ^; soit ensuite à = é-*.
\ou.k^=U:^Czmi^^l sait ettfiH M^b^^tài, &n
csiAfiTRE xvn.
J=/ÎTq:j-55|/e-i*(i r- jHrg-elç.),.
int^ale q^ devra étne prise depuis o»=o jusqu'à âi=f . Le premier terme
T /è— «v^ <lo.9Q9 T (f —fir^f ou ?; les autres étant intégrés eacfessivemciit ptr le dëvelopp«nept dç e**<* , on e|i tira
'^ 'S!" vfi "^^ § ""^ CtC* J —^ ^c^
C^(B lEbrimU» pçnrr» ^'^p^W.r d^p«l|i« ^fS9 1 ju^u'à Or î» o.ûj$^ j awi^ aur* dfts^s dfi cette limite, il Ben pIpis ei|lH>1^ de ealculer directfmçnt la fiinpe
Uw Z par te brmuh (^o),
i.^. L'naage de la Tabla est borne à ls| valeur azss §^ qui r^eod la fonc-r tiqpi Z infinie; passé a: == ) ^ la fonction Z rf)d^vient S^i^ ; ^e dipai|ïi|^ pragpiMsîveixuent jusqu'à la valeur a?:»i •4$i37^ où «lie ^st nulle; ensuite ar çpntiniiatit à augmenter , la yalevr de Z d^viept négative et ai||;jnf nj^ jusqa'i Tiiifipi. P*aîlleur8 depva# fie ;^ i jusqu'à ar s;? 90 , cette fo^iao sç dé^ t^nmnem avec t^l degri d'eKactitl^ qu'pn voudra , par la Ibrmijle (9f ) , ok il fiiudra choinger le si^e de z ((excepté'dans le tefpie h), et ^ife ff^hogçpf CQ qui donnera
I^sagÎBQm iinfi cpuriiiç dent l'ordonf^ée peur chaque abseisse .
à la fi^Gtpoiti Z; Faire de cette cojurbe sera
J T<*ff^ "^T^ *^»4
:= PçZ-rr XiHf')p
AU jésigiiwt par Z(«^) «e ^e devient k (bpeljion Z oja iE(jr) , lorsqu'au iîea df £C op Inet «*. Si dans cette équation on fai^ ors? l'^P^y ^ ^1}\ fi^ui* 9iwt petite ^nawfii3r^^ir^flû»^ Z(^«=;'^<>^^,Z(jc*)œ DidBC, JZàoBi;=> h ; a^HÎ quoique Faedep^^ ^ soit krfinie lorsKiue x:^ i , r^lre de i^ jaourbe pour «eti^ méms aJw^s^^ T^^m i^st pjts jnpins .é|^Ie a la quantité (iiiiif /â.
INTÉGRALES EtII.ÉMEMHES,
TJBLE dis valeurs de nntégrah V= Çf-^-^ — ^X
im. V.
