CHAPITRE XVII. 5i

§ V. Application à V Intégrale V{\^3ù).

i83. Nous avon^ traité fort au loog des difFérens moyens d'évaluer la fonc^tion r(a, x) dans le cas de az=zo. Occupons-nous maintenant du cas a=f ,

ijuî est celui de Kntégrale Z =±=yyir (/-j^^ *"• ~

Faisant à Ponfinaire i-z^z. ou a?=€^'^ on auM sous une autre forme Z =/*— J5""*rfa«"^, d'où l'on tire, en développant e*^ et intégrant,

z=ri-«4(,i+i.|--,-!3-f+rfcî-?-«^-) («-)

On sait d'ailleurs que F? = v/^, ainsi étant donné x et en même temps

z = / - , on connaîtra l'intégrale Z par une série «^'autant plus converg^ite,

que z sera plus petit, c'eat-à-dire que x approchera* plus de l'unité.

A mesure que or. deviendra plus petit, la série sera de moins en moins coiiV;ei;gente; elle deviendra ntiéme divergente dans Içs premiers termes, ,^ès qu'on ai^ra z^3, ou jr ^e*'^o.o5« Dans. ce cas et dans cens où.or^st encore beaucoup plus petit, la série, qui est divergei^ite dans lés. premiers termes^ finit toujours par être convergente, et même plus que tcutitC' progression géométrique décroissante* Mais, comme il faudrait, calculer un nombre de termes assez grand pour arriver au point de convergence (qu'on peut tou« jours déterminer à priori) , et que ces termes ayant une valeur absolue beaucoup plus grande que le résultat qui doit provenir de la série totale, il deviendrait nécessaire de calculer chacun d'eux avec beaucoup dé précision, puisque la plus grande partie de leur valeur doit être détruite; on voit .par toutes ces raisons qu'il vaudra presque toujours mieux, dans le cas dç, x très petit, appliquer la fcurmule générale (58).

i84* Faisant donc ^ = 7) et ^ = — , on aura la formule • . >

Z=:ccz--«:(i+Ç:(i+aÇ:(i+3C:(i+4Ç:(i+ç)iq., " (6^)

OÙ l'on doit remarquer que les numérateurs croissent continûeQemént de (^ tandis que les dénominateurs sont tous égaux à l'unité.

Le calcul de cette formule devra se fiiire oomme nous l'avons «expliqué cidessus art. 176.. Pour en donner un exemple, soit arrssOèOi, on aura csa

log 100= 2M, 2^= — s^msso. 10857 362 etc.; d'après ces valeurs, il

fautcalculer succèsâvement ks quantités %, R, R,, R., etc., par lés formules T. IL * 84

IMTÉGRALES EULÉBIEVNES ;

de l'article cité, savoir, -

etc.

Hpi'

R = XBa,

R, = Rlt^i r R^ £* RtMt^ >

Rj. sa R.93^ j eCcL

Yoici les logarithmes de ces ({uantités^ calcules à, dix décimales , avec les ▼alears qui en résultent pi*ogressîveme]it poUr la fonction ZixsX~R+il,~ll^-fRs — eie.

:es83^

R,... 5.87368 91630 at >W^ • • 9v3datf4 49692^ 0

Rft. . . Jr.2o4r8 4^^^^ ^ flbAs.«i g.40563 63390 5

%^w. 9.9oo8k* 79435 3'

Rs. . '. 3.57020 60956 9 BeAe,». 9.53373 33o2o i

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