CHAPITRE PREMIER

Du calcul des fonctions complètes.

643. Nous supposerons en général qu'on veut calculer les logarithmes des fiwctîons dont il s^agit jitôqu'à i4 déciaaales, parce que ce nombre est celui qM tomportent ieà taM^ les plus étendues qui aient été publiées jusqu'à pf^aent, satoir : Vjiritfimeiica lùgarUkmica de Briggs et la Trigonometria Britannica du même auteur. Les exemples que nous appoilerons dans cette bypothèse feront ^luger aMiémadt des simplifications dont les calculs sont susceptibles, lorsqU'OC» tte^^ôlli^ c^tenir que dix ou un moindre nombre de dëontooles exactes*

Ont veiTiB bientôt ^e les wéines données qui^erventà calculer lesfonttions F'^^^Ë^ÇyServeni aossi à ioaibuler ks fonctions <H>mpIémentairesF'6, £'&; c'est pourquoi nous ne^oimsidéfeitffis xfot les valeurs de c moindres que sin 45^. Ijoraque \% module proposé wra plus grand que sin iiS^y on échangera entre elles les lefatres*^ etis afin «que c désigne tx>ujours la plus petite des deux.

U iatat d'iabord former PécbeHé des modules e^ à^^ c"^, etc. et celle de lenrs eompléraens A, h^y A**, ^ett). ; tnais le nombre de termes à calculer varie swvBDt la grandeur du nodule 'primitif, et il importe d'établir des divisions générales qui fii&eM d'tme manière précise le nombre de ces termes.

644- ^ ^^^ qu'on se propose étant d'obtenir autant qu'il est possible ï4 décimales exactes, si on est parvenu à un terme h^ tel que — logA^ soil tnoihdre qu'une demi- unité décimale du i4* ordre, alors on pourra

regarder log b^ comme nul, etàplus forte raisoiu las 4^erme6 suivaDslog:^*^',

logA^"*"^, etc.; ainsi A**"^' sera. le derniipr des bernes. 6, i%**^, dowt il faut tenir compte.

CHAnTRE ï. 3

La série des «odales «, ^, c% «ke. oompi^eind toojoarB tm teitM de fi^s;

«He devra par tjonséquent être tenninëe au module c/^. La raison len est

qu'un a alawiî^5=:Ci^^^*^0**^?^» ^t ^aio^ lie Jogaiûtbwe de *^ ^ est

nécessaire pour composer la valeur de log c^.

Passé le terme c'*, il n'y a pas lieu de considérer le suivant cH-^ ^ parce qu'on aura sans wreur sensible c^^' 33 (i- </*)•, et qu'ainsi la quantité

— log — ne change pas en mettant ft -|« i à Ja place de {i.

Cela posé , il est facile de voir qu'on connaîtra les limites des differens cas, en commençant par déterminer la valeur dp module c qui donne pour son complément Iqg &= —- j- ( 10)"'*.

Le module supposé e :étant e^trêmiemeut petit,, on .a id'upe .mauiière suffisamment exacte &=3:a<—j<?* et Jqgi;=î=-^iî«W?*(*)j doue c*cplVl(io)""** et c = (io)-Mv/M, on

logc = 3. 181 1078.

Si on assimile c au ^us d'an arc , on trouvera que cet arc n'est qu'une fraction dé seconde et qu'on ii c==sino''o3f3-

Il faut maintenant partir de^e module très pfstijb pour former la suite des modules croissans c, c\ c", c"\ etc.; c'est un calcul qu'on pourra faire d'une manière suOisammenrt «xacte pour nota*e <^et, par ;une ^tafele & sept décimales seulement.

On aura d'abord d =s^^^^^ ou simplement d ^^i^c^ ce qui donne

log c' = 6 . 89 1 5839 et €^ == sin o*a'4o"7o.

Pour avoir c''^feis€/Œ5tang*'içft,.j!ai£tang|iÔŒ8/^^ e = 3* I i'5i"56; donc £/' = sin 3^1 i'5i"56 et log c" = 8 . 7464836.

Si on fait de nouveau c" = tang* 5 ô' , on ^ura l tang 7 V =^9 . 373341-3 1 \ ^^ = •i3^i7'r8Va4, t =s i6^34'37*'68 ; donc d'' p= sin ^16^4^7'^ et log c/^' = 9.6506981.

Soit enfin c'"=tang4fl'{, onaura /tangifl''=;ï9.825349o, i6'^=33*46'4y i5, fl'^=67*33 W'3o ; ddw; c"l=;#in67!33^t>''3o-*tl^tî»\»9.^7698.'

(*) Dans tous les calcttls logarithmiques qui suivent^ nous désignerons constamment par la lettre m^ le nombre connu o . 434^9 > etc. dont le logarithme est 9. 68758 43 1 1 3 o^'i^ et par la lettre M son inverse a .'3oiS8^ etc. , dont le logarHhme e^ o . 8622 1 56886 99463 .

645. II. résulte des ôalculs précédeus, i*. cpie depub c= sih 67^33- jusqu'à ^ = sia 26*34' on devra se borner à calculer les quatre termes A, ^, *•% *••% et les cinq c?, c^, c°^, c***, c**«*;

2*^. Que depuis ^=£sm a6*34' jusqu'à <j=^sin 3*i 1', on n^aura à calculer que les trois termes A, i', i'*^ et les quatre c, c*, c*', c°****;

3*. Que depuis c = sin 3*i l' jusqu'à c = sin o**a'4o", il suflira de calculer les deux termes i, i**, et les trob c, c% c'*;

4*. Que depuis c=s sin o*2'4o'' jusqu'à c=:sin 0^0313, il suffira de calculer le terme i^ et les deux c?, c?*;

5*. Enfin qu'au - dessous de c = sino"o3i3, on n'a besoin que du seul terme c.

Tel est le nombre des termes de la série des modules et de celle de leurs complémens, qu'il sera nécessaire de calculer dans les différens cas, poin* obtenir 14 décimales exactes dans les logarithmes des fonctions F'c, E'c, F'i, E'5. Nous allons faire voir maintenant comment les calculs de ces modules peuvent être effectués de la manière la plus facile.

Formation de l'échelle des modules,

646. Connaissant les logarithmes de c et ^, il s'agit de trouver ceux des termes suivans c* et 6**. Pour cela, soit c*=^, l'équation A**c? = 2 1/( ôc^ )

donnera' x = * ^ (1 — or*) , et en faisant p = * ^ , la valeur de x développée en série régulière sera

^ = Z' - f • 4;»' 4- p . 16/»» — ^8 r64p\+ etc.

Mais it importe de calculer directement logo:; or la valeur J?= ^^ ^ ^""' donne

d'où l'on tire en intégrant,

•og^==lo^;>-/^ + r.;^*-^ -^ + ^7^.-1- -etc.

Ces logarithmes sont hyperboliques; pour les changer en logarithmes vulgaires, il faut multiplier les parties algébriques par m] c'est pourquoi faisant

P s= mp^ — 1 mp^ + ^ mp^ — etc.,