CHAPITRE I

on aura log j: ou

logc'^sslog;? — P et log*' = — JP;

aiosi on connaîtra à la fols log c^ et log b^.

La même formule servira à calculer les termes c^ et A***, au moyen des deux précédens c?**, 6% et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait formé l'échelle entière des modules dans les limites déterminées par l'art. 645.

Nous remarquerons qu'en supposant toujours qu'on veuille obtenir 1 4 décimales exactes, la valeur de P ne comprendra jamais plus de trois termes; on trouvera même que le troisième ne devient nécessaire que lorsque c est peu éloigné de la limite sin 45*; dans les autres cas, il suffira des deux pre* miers termes /??/>• — | mp^^ et souvent du seul premier terme mp^.

647. Si la première valeur du module c est donnée sous la forme c^sinO, et qu'en même temps l'angle 0, ainsi que sa moitié, se trouve directement et sans interpolation dans les tables, alors on aura immédiatement les quatre modules e?, i, c% i**, par les formules

c=sinfl, A = cosfl, c^stang^jO, *• = — î~.

On calculera ensuite les termes c**, i*"* en les dédui^nt des termes précédens c®, i®, par les formules de l'article précédent. C'est ainsi qu'on a procédé dans les calculs qui ont servi à former la Table générale des fonctions E'c, F'c dont nous parlerons bientôt.

648. Si la valeur de c est donnée en nombres rationnels assez simples , il pourra être facile de trouver les valeurs logarithmiques de &, c°, i^ au moyen des formules

et pour cet effet on emploiera la Table connue qui donne jusqu'à i5 ou 20 décimales, les logarithmes des nombres de i à 1161, ou même de i à I300. Les calculs seront encore plus faciles si la valeur de b est donnée immédiatement en nombres simples.

Si on ne connaît que log c ^ dont le double sera log c^y on cherchera dans une Table ordinaire à sept décimales, un nombre qui approche de c* jusqu'à la sixième ou la septième décimale ; on transformera ensuite cette valeur en fraction continue, afin d'obtenir une fraction ordinaire exprimée eu nombres assez simples qui approche beaucoup de la valeur de c^. Cela posé, on appliquera la formule suivante qui sert à trouvt^r facilement log (i4"A)^ lorsqu'on connaît log A :

log A = log û H- r, log(i=fc:A) = log(i±«)±^(. + ^)j

et pouc. faciliter le calcul de cette formule, on fera

,f ■— Zl log ft = fa -ï^ y^ ir',

et on aura

log (i =t: A) == log (i t±:û)± R.

Par le moyen de log c% on connaîtra Jonc log (i — c*), ou 2 log i j ensuite il faudra trouver log ( 1 + ^), ce qui se fera par l'application de la même méthode. Enfin connaissant log(ï + i), on aura immédiatement les logarithmes de c* et i*, par les foimules

649* Si on ne veut pas pousser l'approximation au-delà de dix décimales, le calcul des premiers modules se fera sans difficulté par. les Tables de Vlacq ou de Yega, en faisant les interpolations nécessaires, et ayant égard aux secondes différences. On peut à cet effet suivre deux méthodes différentes.

i^. Étant donné log c ou log sin 0, on clierchera l'angle 0 avec tout le degré d'exactitude que la Table comporte, c'est-à-dire en calculant les fractions de seconde jusqu'à la cinquième décimale au moins ^ 8 étant «onnu, on aura par les interpolations ordinaires , les logarithmes des quantités b^

c%h% savoir : *s=cosô, c* = tang*ie, ^b^ziz^^^.

Ces calculs pourraient être faits de la même manièi^e , lorsqu'il s'agira de trouver c^ et-é^»; mais ils deviendraient plus con^pliqués , et les iûterpolations moins exactes à raison de la petitesse du nouvel angle 0. Il sera donc préférable alors de se servir de la méthode de l'art. 646.

2®. Pour éviter les interpolations assez pénibles qu'exige la méthode précédente, on peut opérer comme il suit.

L'angle 8 auquel répond / sin 8 , tombe toujours entre deux angles de la Table, qui ne diffèrent entre eux que de 10''. Soit a celui des deux qui est multiple de 20", et soit

/ sin fl ==: / sin a H- r ; on déduira de là 9

l cos 8 := / cos a -^ r tans* a ( 1 H —) ,

l tang i fl = Z tang ± a + ^^ ( i + 1 Mr tang* «).