CHAPITRE XVII- £bi

terminera d'elle-même, efcqu'Qn aiura ainsi la valeur de T eipriobée exactement par uqe foncUoa rationnelle de Ç. L'intëgrale étant connue pour diacun de ce& deux ca$. généraux , il sera facile d'avoir , dans la même supposition, l'intégrale complote de l'équation (57), laquelle ne supposera plus qu'on ait len mécnc jtemps T;^ i et 2[ =0.

En effet, par le tableau analytique de l'art. 173, on voit que l'équation différentielle propose en T, est liée avec les transformées successives en T', T", T''', etc., de manière qu'il suffit de résoudre complètement une de <ies équations, pour résoudre toutes les autres, et particulièrement l'équation ^en T. Or, par la loi des transformées successives, il est évident que les coefficieqs'qui .étaient et et ^ dans l'équation en T, deviennent et et 7^-f-6 dans la transformée paire en T?*", et quils deviennent i— aefn + a+f dans la transformée impaire en T**^*.

191. Soit donc 1°. ^=:— n; pour avoir les transformées successives on prolongera la suite des équations.

1= 1 +(i + c)rr,

> '. i etc.,'

jusqu'à celle qui donne la transformée en T**^*, savoir: cette transformée sera

EdGd si l'on fait ^ii;zr= > "hC^f o^ ^ura pour dernière trausCoriuée,

Celle-ci étant linéaire par rapport à ^^ on en tire

A étant la constante arbitraire.

«iiS INTÉ(5ftMJÈ6 ÊOt^ïENNES ,

Sim^tftttïdMcfeiÉcteeWivettiént T^ , T"; \ i , ÏT^* , Y-, Wf Abyéh dèô'èjfttà-

19a. Dans cette intégrale, outreiert^meA;^!!^ ^^ j<)Qi:Appastiient imx

e^lponentielles ordlnaîresT, se trouve çooiprise la traijiscendaQte /Ç— '— •e^^

qui, pour les valeors positives de d ^eu^ble différente dtes transcendante»

r{a, a:)j mais pour les valeurs négative^ àtÇ^ cef deux transcendantes sont

dç ,méme nature.

' . . . ij

En eâfet, soit Çœ— o", on aura/C-» -•e^ dff=(— i)*ycr-^-*e ^dlj-,

soit encore e ^zzsixi ou - ^ / - . on aura

dans ce même cas on aurait - ' '^

Ainsi le simple changement dê^Ç' en -^ a, suffit pour (fuie l'intégrale complète

de l'équation proposée en T, puisse être exprimée: pdr la fonction r(a, x),

en taisant xzsze ^; elle satisfera a toutes les valeurs positives de er, Ou a

toutes les yaleui*s négali^^Si de=Ç. £nsuii&-|fti l'o^ ohangé If-signe 4e ^ > ce qui

rend f positif, la fonction r(a, x) supposera x = e^, €^ee^-^à^ifrè «:>> 1 , yft

elle se déterminera aV>rs comme on l'a fi^t.voir.ds^ns l'art* tCi^* Donc dans

tous les cas,Pîm^raeî^ômpfeW*3e^'S[uation p^^ parla

transcendante connue r(^i, or), en donnant à cette transcendante toute l'ex-

tensioh dont elfe éfet'feÙsc^ptttté. ^>'-^^^ ,^

193. Soit a®, fit + ^ — iitfiel^ -tftitisQmii^es^ ^i^cessi vas devront être prolongées, suivant la loi de l'art. 173, jusqu'à la transformée en T*' qui sera

Dans celle-ci, faisant de nouveau ^ = 1 + ÇY, 01^ aura la dernière transformée

qpAjPipip isyjï. s««

dont l'iotëgrale est

1 cw-C'^-r-e"? (A ^/Ç^-» élfiO.

Connaissant Y, on obtiendra successivement les valeurs de T", T**^*' et enfin T, de sorte (|u'on aura Vin tégrale çHtnplëte âè l'équation dîffërentielle

proposées '

194. Dànà cette intégrale sef trouve la transcendante ^/^^^^d^dj^ qui, pour toutes les valeurs Bégative§,de T, se ramètae mimëd^t^^t $iux fonctions

r(^> ^)'Car^aiMn|^Ç^-Tri^et jçnsuitçe. .*^C3t^^^ . [

etyÉr—-»e '«fer =/(£2x(/;y s *ï=r(i — «, Jt), AM^lans^ecasdef n«ga-

tif, l'intégrale de Féquatiof dîSerentielle p^opo^ée d^^^dra simplement de la fonction r(i — ^f x).

Dans le cas de Ç positif, on s)ubstijLuç|'a à la fonction T(i—et^ ^), ce qyc

devient cette fonction lor^ue x,;=afief^y c*eî5t-à-^rc 'lorsque œ est> i ; ou bien , pour éviter des transformations qui quelquefois sont embarrassées d'ima*

ginaires, on conservera dans Texpre^iQ^ d^ T la,tri^nscj^4$J0<e fXl^Z^^dJi qui s'évaluera convenablement suivant les différeps cas.

Si et est un nombre enti^ j^ositif ou négatif^ l'iji;it^grale dont il s'agit s'exprimera toujours exactement ,.ou se réduira à^la forme connue / - — •

Si €L n'est pas un entier ^ soitp ku^ on aura /"f^T^e^flB^ss-yyîr-^éi^dii.

ce qui donne par le développement de e^^^ la valeur approchée

JX^-^^d^ = const. — iZl -.2!ll • i . >ï-fl ^ etc. On peut flhssèî mettre cètterintédrale sgiui la fbnoe

d'oùréralte

528 INTÉGRALES EULÉWENNES ,

4 = Ac^tt*-"' i^-4-^: ' " ■/ — -^ îî — 5 f-ctc.

Y I—* • I 4.2^— « 1 «.2—- «.S^-tf '^

sërie qui pourra être divergente dans les premiers termes , mais qui deviendra toujours convergente âpres on càrtein nombre de termes.

195.. Si, au lieu défaire les sujij^stitutions dans l'ordre indiqué art. 173^^011 les fait dans l'ordre inverçc, on aur^ les équ^ taons. suivantes qui serviront à déterminer les transformées successives en T**, T**, ï<«»— 0^ f •^aO^

etc., etc., etc.

♦De là on voit que la transformée paire eh T*^**^=: Y, sera

f^ + -Y H(6— «X— y. s=Ox — , 1

et que la transformée impaire en T'^"" '' = Y, sera

Donc, I*. si € est égal à un nombre entier positif /z, la transformée de Tordre aw^gerédiii l'a à réqualiort linéaire

dont l'infegrale est YrsTÇ*— *ef (A — /X*^^^ ^^0* Si dans celte expression

on rait e ^ = ar,ou5;=/-, on aura

,.J'C-rV.I^ = /^('zl\--^=r(i.«r«.,JF)f ^ .

ainsi l'intégrale de l'équation propottée- en>fr'S''elprï'mera>' généralement au moyen.de la fonction F(.i —a, or). b- , '" >in

2*. Si a-f-^^'^égalJuun nombre entier positif /i, la IrsiiÀforrriée de l'ordre :2n — • I , se réduira à une équation linéaire ,