CHAPITRE XVII

^+[(i-«)Ç-H.]Y-i=o, dont Pintégrale est

et en faisant toujours Ja substitution e ^:=x, on aura

/C-— e fdt=/<ir(/l)— '=r(«,ar).

Donc alors l'intégrale complète de l'ëquation proposée s'exprimera au moyen de la fonction T{(t^ x).

196. Il reste donc démontré qu'étant proposée Téquation difierentielle,

on en pourra toujours trouver l'intégrale complète au moyen des fonctions r(a, x), considérées dans toute l'étendue dont elles sont susceptibles ^ si l'un des nombres ^, «+^, est un entier positif ou négatiE

Nous remarquerons que si l'on proposait l'équation différentielle

<rf +(Ar-l-i)Z+BÇZ'-f-q:-D=o,

où il y a quatre coefficiens constans A^ B, C^ D9 cette équation pourrait être ramenée à la même forme que l'équation précédente qui ne contient que deux coefficiens constans. En effet , soit Z = mT -f- n, m et /i étant deux constantes indéterminées, l'équation transformée en T sera

mÇ»^ + Byw'ÇT* + (AÇ + i)toT + B»'Ç + 1» = o

+ aB/w^T + A/ïÇ — D

Dëterniinant n d'après l'ëqaation Bn*-4-An«f-C=o, faisant ensuite... m=D — re, ^=:Bm, a = A-f-a6/i, onaura

équation entièrement semblable i l'équation (57). Donc l'équation proposée en Z sera intégrable si l'un des nombres

5So vsTÉç^îM ^mMfsmEs.

BD 4- 1 A - i v^(A* — 4BC),

est un entier posidf ou u^g^tif.

197* Nous remarquerons enfin qu^x>n peut donner à Péquaticxi ($7) une forme analogue à celle de l'équation de Biccati. Pour cela, soit d'abord

Ç = Aar, Tzszhxr; soit ensidte ;^=: — -, Bs= — ?, A=-|^,latrans-

dx

iwçcf^ ;yi— n&e"

/— •ia/M:* =z, on aura

Cette équation , qui est plus géDomle qae.l^équatiQn de Riccati, sera donc intégrable si l'un des nombres ^, a -f- ^ , est un entier positif ou négatif.

H^dns'le cas oi^ Ton a ^ =s^ -—1^9 cette équatÎMi deyient

2 4- «• — \a*n*x* ss^aj^ellesfiffftiqi^g^ble saiyainUaitliéo^e précédente ,

si l'un des deux nombres-^ -**1^9 ? *h i^^ ^^ ^^ enber po#itîf on négatif;

alors l'exposant de JC^r^aYpir y -. -^^^ i se réduit Ua forme-r- .^- , A: étant

un entier positif ou négatif; on obtient ainsi les mêmes résultats que présente la résolution connue de l'équation de Aiccatî.

nX «ES IlfttGSALES EVLiRlBmiBS.

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