SECTION PREMIÈRE

Sur le Dèi^eloppement de là puissance ( H- a* — 2^ ces ^)-».

I . Un peut toujours supposer a < i ; car si on avait « < i > on attrait - à la place de a, et la puissance a Ôèteloppet tettàt a^(ï*4-'û*-**^A <;os(p)*"%

a étant <C i* i!lela posé, si Pon fait t) = i -+• tt*-^ u^qoa ^^ él qu^)tl SiTppôsè

D""* = Po + aP, cos ^ + aP, cos aç -f- âPj ces 5^ -^ etc. ,

l'expression générale dû côéuicient P(X) sera dotinée parla iiormiâe -suivante où l'int^ale doit être prise depuis ^ = o jusqu'à ^ = ^ :

^^ 'j "nsF— (0

En effet, on sait que l'intégrale fd^ cos A^ cosft^ prise entre ces limites, w réduit à zéro, pour toutes* Tatèurs'deseiïtiets A et/t, pourvu qu'ils soient différens l'un de l'autre 3 ainsi en substituant pour D""* la valeur dévelpppée Po+ aP, cos ^-+- aP^ cos 3^^-etc,, l'intégrale fD^^dp cos A^ se déduira au seul terme :iV{K)fd(p cos'A^, dont la valeur est ^P(A), ce qui doui^e lih formulé (1).

Cette fdrînule réduit qux quadratures là détetmination générale du coefficient P(A)j mais il importe de chercher une autre expression de ce coefficient propre à "^en-féEdifCer ie calcul nlum4rique Tpour toutes valeurs données de n et de A.

Heât nécessaire, pour' cet ëte!t,de traiter séparé'melit'le 0as'ôù4*texpt«atVl n est un nombre entier, positif ou négatif, et celui ô*à n est OïTlîàiâbfe'^frat^ tionnaire. Dattfc fe pVetoier^s,^ki"valél»r'dvi..çpfficienLgënëfralïl^A) peut être déterminée exactement par une fdhctiôn rationn^le de /iiÉ^ de A ; dans le see^nd ces, O^s^ooeflldîtns P(A^)« sont «iiDénënd lies trantendanUnq^i 9ilt

55a APPENDICE,

beaucoup de rapport avec les fonctions elliptiques et qui coïncident avec elles lorsque an est un .nombre impair.

§ I. Solution du cas où V exposant n est un nombre entier^ positif ou négatif.