Nous ferons toujours a<C i, D=i+û'— j2a co» ç et
D""* = Po + 2P, cos ^ -f- 2?. cos 2 ^ + aPs cos 3 9 -f-elc.
Dans cette série, le coefficient P(A) qui accompagne cos A^, suppose n constant; mais si on a égard à la variabilité de n^ ce coefficient, fonction de deux variables, devra être désigné par P(A, n); on pourra en outre considérer P(A, n) comme étant fonction de a, et différencier, s'il y a lieu, ce • cofficient par rapport à a.
Gela posé, on sait par la théorie des suites récurrentes, que la suite infinie I -f-a cos 9 + ^* cos 29 + a' cos 5^ + etc. , n'est autre chose que le développement de la fraction T^T^J^^TTir?' suivant les puissances ascendantes de a.
De là on déduit l'équation I— a»
ou
. ^ = I + aa cos © 4- 2a*co8a^-f- 2^ cos 5© + etc.*
I — aacosf + a^ ^ ^ r 1 ^
D""* = — ^—îTi + 2a cos ç-|- 2a "^008 2^ + 30* cos 3^ + etc. j,
ce qui fait voir que dans le cas de /z = i , on a en général
Au moyen de celte valeur, nous allons déterminer successivement P(A, 2}, P(A,5), et en général P(A, ti), /i étant un nombre entier positif quelconque.
3. Pour cela différencions par rapport à a l'équation P (A, ;î)=: - / ^??|^,
nous aurons
multipliant de part et d'autre par a et mettant au lieu de 2a cos ^—20" sa valeur i — ^ a* — D p on aura
Le second membre de cette équation se réduit à ^(i— a')P(Xy 11+ i)
— /ïP (X , /ï) , donc on a
Ainsi le coeffident P(A, n<4- 1) se déduira en général du coefficient P(A, n), au moyen d'une simple différen (dation faite en regardant a comme seule variable ; et puisque nous connaissons la valeur de P (X , i ) par la formule (a) , nous en déduirons successivement les valeurs de P(A, 3), P(A, 3), etc., savmr:
P(A, 3)= i . jj^r^ [(A + 0 (A 4. a) — 2««(A + 2) (A — a) + a4(A — a) (a — i)3 , '•(*'4)= r^ ■ Tr^—^li.^+^) (*+2) (A+3)-3a'(A+a) (a+3) (A-3)
+«»(A-4) (A-3) (A-a) (x i)], etc.,
La loi de ces expressions est fiicile à saiâr, et en général la valeur de P(i»^ X) sera donnée par la formule suivante :
t y»— i.it — a.n*^3 g y» — A^»i.n— a — a.y>— a — 3 , • i.a.3 A+i.A + a.A + 3 '
Pour s'assurer de Texactitude de cette formule , il suffit de substituer la valeur générale de P (X , 1») ^^^ '^ second membre de l'équation (3) ; on trouvera, après les réductions , une valeur de P(A, ^+x) qui ne sera autre chose que ce que devient la fonction P(A, n) en mettant nH* < ^ 1& place de n. Tout autre mode de vérification serait moins facile que celui que nous indiquons.
4* Le cas le plus simple est celui de /i =s A -|- i ; alors B ou B(A, n) M- réduit à son premier terme i, et on a
PCX,A+0 = -j ___ — ___. _______
Un autre cas qui mérite d'être remarqué est celui de X = o ; alors on a
formule dont les coefficiens sont les quarrés des coelficiep^ du binôme élevé à la puissance » — i ; elle donne afi ,même temps la valew de Tmlégral^
^y*^ , prisé depuis <p === o jusqu'à (p =±=^.<)n aurait par exemple , ^
5. La formule (4) ne laisse rien à désirer lorsque n est un entier positif, lis elle ne peut s'^appliquer au cas où /z est un entier négatif; c'^t pour-
mais
quoi il est nécessaire de chercher directement la solution de ce cas, c'estr à-dire la valeur générale du coeflScient P(A,-t») donné par f intégrale
définie -/D"^ cos X^. Or, sans passer par les cas particuliers, on peut aé*
terminer tout d'un coup la valeur de cette intégrale.
En effet, le polynôme i — aa'cos <p + a' étant décomposé en ses deux facteurs imaginaires, on aura
si ensuite on suppose (i ^^ e#%^-»)»=: I ^JL.c^v/-» + R.eV/--»i .':i+Kx e^*;/-» -J-etc., on aura sen^hlabkment — .
(i —.^^-^•-i )•= I 4- K^er^^-' + R.e^>v/-i , . .4- Kx. e-^py/-'+ etc.
Multipliant ces deux équations l'une par l'autre afin d'avoir la valeur de D*, et observant qu'il suffit de conserver dans le second membre les termes affectés de 6^^v^— ' et e-^y^^y puisque ce sont les seuls qui nte disparaissent pas dans l'intégrale cherchée, on aura pour cette partie de D» 1^ valflur ' *
mais le facteur e^V—ï-f-^—'^V—» se réduit à 2 cos A(p, eton ^ ^ntreiç?limites données fd(p . 2 cos» Aç =s 'TT ; donc la valeur générale du çoeflicîent P (A, — w) est
P(A, — 7i)=Kx+ K.^,+. + K.Kx4., + K,Rx4.3 + etc. ; or , on a par. la formule du binôme .'
X =5^— ——-—-5 ( aj ,
'^^-^^ - '^^ • A-fi.A+a,A+3 (-^)' K* = — 7X3— (-^)^>
etc. etc.
Donc enfin la valeur de P( A , — n) sera donnée par la formule suivante: P(A,— I») = (— flV . >*.»-'.»-a...»+i-A ^ ç
^ — rx3— ^ • A+,.A+2.A+3 + ^*^-
6. Remarquons cpie dans l'application de cette formule il faut supposer /i = ou >Ai en, efiet, si n était <X, le dëvetoppen^ent de D" ne pourrait donner aucun terme semblable à cos A^; ainsi l'intégrale /D'd(p cos A^, prise entre les lunites données, serait ïiulle. La plus petite valeur qu'on
puisse donner k n est donc it = A, alors on a f\td^ cos A^=7r( — df ^ ce qui se vérifie immédiatement.
Le cas de A = o mérite encore d'être remarqué f alors on a fX^â^^nt [i +n'fl'+ (^^)V + (" • "7;;3^'"7 ^'H- etc.) (7) Comparant cette formule à la formule (5) , on en tire
/D-rf^ = (.-«-)"*'/ig„ (8)
ce qui établit un rapport remarquable entre ces deux intégrales définies , rapport qui aurait lieu quand même n uQ. serait pas un uoqibre entier et d'où l'on déduirait aisément la formule de l'art. i48, tome I.
En général , si Ton observe que la valeur du cofficient G n'est autre chose que celle du coefficient B dans laquelle on aurait mis i» + i au lieu de n y on en déduira un rapport remarquable entre les intégrales fH^d^ cos A^ et
/ p,^.,^. Ce rapport est c|omié par l'équation suivante, dont l'équation (8)
n'est qu'un ca^ particulier.
7. Les formules précédentes résolvent complètement le problème du développement de la puissance D""% lorsque l'exposant h est un entier positif ou n^atif; elles peuvent même s'appKquer au cas où l'exposant n ne serait pas un nombre entier ; mais alors la suite qui exprime la valeur du coefficient V(?<y n) s'étend à l'inGni, et on ne peut plus. déterminer que par approximation les coefficiens successifs Po, P|, P», etc., qui deviennent dans ce cas des transcendantes d'une nature particulière ^ d'où naît cetle sorte de paradoxe qu^ le développement d'une quantité algébrique telle que D"^ ne peut s'exécuter qu'avec des coefficiens de nature transcendante. Nous examinerons ci-après les propriétés de ces coefficiens, afin de fiidliter autant qu'il est possible les calculs nécessaires pour leur détermination; mais nous saisirons cette occasion de démontrer ici une formule assez remarquable qui a lieu dans le cas de /ï = j- , et qui parait ne se rattacher à au-
. cune autre formule du même genre.
8. Si on fait n={ dans la formule (4) et que préalablement on mette au
ueu de , la traction équivalente — -^ — -^-5 ^ »
on aura ^P(A, |) ou
/^cosA» X 1.3.5, ..aA—i/ ^ 2A+I . 1.3 ^ 2A+i.aA-h3 \
Dî * 2.4.6.. .2A \ "*"*^ * 2A+2'*'2*4^ '2A+2.2AH-4 "*" ® ^ /
flg^sin ^ ^^ qu'on développe la quantité sous le signe, on aura
Z =fd(p (sin^ç+^ «•. sin^^+î»(p +-^4 ^ • sin^"H(p +etc.)
Effectuant l'intégration de chaque terme entre les limites ^ = 0, ^ss^, d'après la formule connue fd^ sin**ç = ' V * — ^^ çr, on aura
