L.O. • .2 Tn

j 1.3.5. ..2A— 1 f I , , flA+1 I 1.3 . 2\+l,2A+3 , \^

et puisque cette valeur est la même, au &cteur a^ prés, que celle de

/-2 — ; — , on aura en général la formule

OÙ les deux intégrales sont prises depuis Ç=o jusqu'à ^ :=s^.

La vaïenr du coeiEcient P(X, i) que donne cette formule, peut se tirer directement d'une intégrale comprise dans l'art. laS, tome i. Cette intégrale est en général

et si on la prend depub G = o jusqu'à 0=^, on aura

Développant la quantité sous I^ çignc par la formule qui sert à exprimer D""', dans Fart. 2, on aura

D ' • c= - / -77 , . .A. c I + 2a sîn*ô cos ^ + 2a* sin^fl cos 2^ •+• etc.)

Ainsi on voit que dans le développement de D" ^, le coefficient P(A , ^ sera

en général — j ^j ^^ . ;>■ , celte intégrale étant prise depuis 9 = o jusqu'à fi = ^.

On pourra toujours déterminer la valeur exacte de ce coefficient par les fonctions complètes F'a, £*a; mais si on voulait la déterminer par les quadratures^ la forme — f > ^^ . ,^i serait beaucoup plus fiicile à calculer que la forme - / -77 — z — ^22 — où l'ordonnée ne suit pas une marche

^Jvii+a* — 2aco80)' *

aussi régulière.

Il résulte aussi de l'expression P(X, j)=s^ f J||°^ . ^. , que le coefficient P diminue continuellement à mesure que le nombre des termes A augmente, tant à raison du facteur constant a^y qu'à raison du facteur variable sin^^ fi. Cette expression fait d'ailleurs connaître deux limites entre lesquelles le coefficient P(A, -) sera toujours contenu 3 on aura en eifet

e^ n^, ?) < -J 7(7iiô "^ 1/(1 -a") • ""MTe-T^T" •

Nous remarquerons enfin qu'en différenciant par rapport à a, le coefficient ^(Ay 7)9 on en tirerait la valeur générale du coefficient P(A, n) pour le cas de nzsz\y mais cette valeur ^rait moins simple que pour le cas de /i= 7.

538 APÏ>Eiyï>ICE,

$ IL Solution du ca$ où F exposant nn^ est pas un nombre entier.

9. Supposant toujours que le développement de D~* est représenté par la suite

P» + aP, cos^+ 2P. cosa^+aPfCÔsSç.. . + aPx cos X^ -H etc. ,

l'expression générale du coefficient Pk ou P(X)9 sera donnée par la formule (4)^ en y faisant le changement indiqué dans iVrt^ 8, on auta-^si

I— 1».2— /» A+I— yi.A-|-2— '/> ^^ I I — ^».2— /».3— I» A^f* ' '-^n . A'4-2— ^ « A^j^S— » f^J^o» \ "** TTi • Â+TiÂ+î .. r* 1.2.3 ~ *^ X+I.A+2.A+3 ~ ^ /

Une autre expression de ce même cofficient peut se tirer de la formule (6X en y changeant le signe de n : cette expression '^eàt

^'^•'' , n.»-fi.w+a jH-A.n4-A+i.wfA+a -e i o»#. ^

Cette formule renferme une suite moins convergente que celle de là for^ male(i 1), mais dlel jouit de quelques avantages particuliers^ eUe fait voir y par exemple, que n étant positif, les coefficiens dififërentiels successifs

--~i, — ~-^, ^ ^ , etc. seront tous positifs.