Soit V= ^«Ti ^^ ^^W^ ^^^ difierenciant celte équation
rtr -^^ côs A« 2a (» — i) sin 0. »^ • ^ ^
et en réduisant au même déilominateur ,
rfVc=:(H-/l*)A > p.^~(A+n^i).g> -^ ^ ^
intégrant de part et d'autre depuis 4> =b o jusqu'à 9 ss ^ , et observant que dans ces deux limites Y ^évanouit, on aura d'après l'équation (i),
(i3) (A+i— /i)P(Â.f.i)~(l±^AP(A)+(A—i+/î)P(A— i)==o.
Cette équation donne là loi générale qui lie entre eux trois termes conâécu-
tifs qujelconquea de la sujte P^, Prrl^9 ^^^i ^^^ ^^^^ ^^VP ^^'^^ BuSit de connaître deux termes de cette suite pour déterminer tous les autres ; mais il y a des précautions \ prendre, suivant lesjdiff^r^s cas, po^r que l'erreur qui peut exister sur les deux termes connus ne se multiplie pas dans le calcul des autres termes ,. d^ manière k rQ^dr^ bientôt les résultats entièrement défectueux.
II. Si ott ftit P (X} sJ ^' " "^ ' • • -"•^;^~-' a»^ . A (A), et qu'on substitue
cette valeur dans/Féquation (4)j on auVa
Cette équs^tion ei^prime p$u:eilieme9t la loi qui règne -entre trois fermes consécutifs de la suite Ae, A|, A», Aj, etc. En supposant cette suite con* nue, le développefnent de l)^^ serait donné par la formule
2a*. — A. cos 2^
D~* = A« + na • - A , cos ^
A j cos 5^ + etc.
Lorsque A est très grand, l'équation (i4) donne à très peu près
d'où l'on peut conclure que la série A^, A, , A., etc. doit se confondre dans les termes éloignés avec une série récurrente dont l'échelle de relation est
— r^ j •^ — ; celle-ci aurait pour terme général ce + 5 (— j , ce et ^ étant
des coefficiens ppnsts^ns* Ainsi lorsque A est très, grand ^ on doit avoir aussi
A(A) = ce + Çjr-^j. Mais comme, d'après l'équation (ii), la valeur de
A (A) ne doit contenir aucune puissaQce négative de,^,. il s'eosuit qu'on a f = o; et qu'ainsi A étant très grand, on aura A (A)=a, ou A (A) ^al à une constante. Cette constante ^e détër^nihe. en faisant A infini dans la valeur générale de A (A) donnée par l'équation (la), laquelle est
et on a par cette suppoisition'A (A)= (i — a*)""". Mais ce résultat n'est que le premier terme d'une série propre à exprimer la valeur générale de A (A) ^ lorsque A est très grand. Voici cç^ment pxh pftryiçp^ h Ç^ttéf série.
54o APPENDICE,
12. Faisons, pour abréger, A + i =: A', X + 3 ss A", etc., et supposons
A(A)=:«(i H-^ + i-, + -^-.+ etc.), c', é\ c"'y etc. étant des coefficiens indépendans de A; cette valeur donne
A(A)-A(A+ l) = «(-^ + 3;Ç.^T, + 3;;^-+etC.), -
A(A+,) - A(A + .) = a{^,-\.^-^-^j^^ H- elc.)j
multipliant le second membre de la dernière équation par A', et observant que X'fi= a'''— 2 ^ X*' — 3 := A^ "— 4> ^^^m ^^ aura, après avoir divisé par A',
A(X+0-A(X +2)=^ (pp+ -Wl?- + 1?Â^A^+ aVaW + ^^-> Maintenant si on met l'équation (i4) sous cette forme :
o=A(X)— A(X+i)— «-[ACX+i)— A(A+2)]+'^a*A(X+2),
et qu'on substitue les valeurs précédentes, on aura une équation qui devant être identique, donnera les équations de condition
etc.;
d'où l'on déduit les valeurs des coefficiens
etc.;
donc on a la formule générale
SECTION I. S4i
AW=(— >•)-[■ + ^ • ri; • 7^
, n— i.ii"»2.y»-— 3 n.n+ï.w+2 / g* \» , ^^ "^
^ TÎT • A+1.A+2.A+3 • Vi— a*; "r«*^- J
Cette suite a Pavantage de se terminer d'elle-même, toutes les fois que n est un entier positif ou négatif; mais si n est fractionnaire, comme nous Je supposons, elle s'étendra à l'inâni et ne sera convergente dans toute son étendue et pour toute valeur de A, que lorsqu'on aura a*^i — a*
ou «'.<!.
1 3. Dans tous les cas , si A est fort grand , on aura une valeur très ap-* prochée de A (A) par les premiers termes de la série , qui décroîtront alors d'une manière rapide. Dans cette hypothèse, si on prend le k^aritfame de A (A), et qu'en négligeant les termes qui ont pour diviseurs A*, A*, etc. , on
réunisse deux termes tels que ^ ^4" ^ en un seul— ^ — , on aura
logA(A) = -»log(i-a-)+^fe^$7.
D'un autre côté la valeur de P (A) peut en général se mettre sous la forme
et puisque A est supposé très grand, on a par la formule de l'art. 74)
donc on aura
Alog a +(ii— i) Jog A — n log (i — a*)— log Yn
valeur qui doit être exacte aux quantités près de l'ordre -^, et dans laquelle
il faudra multiplier les deux termes algébriques par le module ma 0.434^ si on veut que les logarithmes de cette équation soient changés en logarith« mes vulgaires. ^
Nous devons observer, i*. que si a était négatif^ le terme A loga sera toujours le même que si a était positif, mais alors P(A) sera affecté du facteur
5^ APPCÎ^MGB,
(— i)^ , ce qui rendra P(A) négatif si % est imfBÙri 2*. que si l'exposant n était négatif, c'est-à-dire si on arait a développer une puissance positive du polynôme D, alors il ftudtrait d^nd'k, terme — h^Tjiuy mettre la valeur cpic prend la fonction Tn torsque sa racipe n est négative , .valeur donnée par la fi>rwfiJ^45) d« chap' XV; eèdaq» le ^s.oè-^ette valeur serait négative, on devra la considérer comme positive dans le terme — log Tn , et changer simplement le signe dé P(A).
H suit dfe ces deux observations, quç le coefficieîxt P(X) ne deviendra né^jà-^ Û^qae dans Ife cas où la quantité û'^ Tn serait-négatîve.
0n peut donc à l*àide de la formule (17) connaître d*une manière aussi prompte que facile, la valeur et le signe d'un terme éloigné quelconque dans la wit^ Po, lîi.j P»,, ete. Si par exemple on fiiit a ==st^, »œ=|, X sm loa, on ti;çmyerAJog P^m) =3?: 8. 6450984, et P,oo=o^o45964ïa; c'est la valeor trm HBP^^'i'^t^^^ ^^^* terme déJa smiiedont il s'agit.
i4* Q.çv^noa». ai^. calcul effectif de$'eoefficieii»Po, P«, P;, ete. Lorsque^ sera assez petit, on pourra se servir des formais fai) qu (la) indiSeremr ment, pour calculer les coefficiens successifs qui seront donnés alors par des séries convergente^ maïs il^suQira.de calculer directement par ces séries les termes alternatifs P^, P., P4, Pe, etc., et on en déduira les intermédiaires 1^1, ?ai,Pft9 ;e(6«, a^u moyen! de l'éqnaitioQ (^5)qui(bane engënénd*
