Ayant représenté le développement de D""? par la formule
D"^= P« -H aPj cos ^ + aP, cos 2^ + aPj^ cos 5^ + etc. ,.
supposons qu'on ait semblablement
D*"*"* = Q^ -{- :iQ, cos ^ + 2Q. cos 2Ç + aQj cos 5^ + etc.^
Q(A) étant la même fonction de n'^i que P(à) est de n. Nous allons faire voir que ces deux suites se déduisent aisément l'une de l'autre.
En effet i si on différencie la quantité V = -^^ r ^^ ^ura
' >V-1^ ^cos^ j d4>cos()i+t)ç ^^ çg^cosÇA— i)^
aV.--A.. — (-/la.— — gj^;; — IW. guipj ;
intégrant de part et d'autre depuis ^ c= o jusqu'à ^ ^ ^ , et observant que dans ces limites V s'évanouit , il viendra, d'après l'équation (i),
o = AP(A) + /w[Q(x+i)-Q(x — 1)],
ce qai donne
(,9). P(^ = TCQ(^-')-Q('^ + 0]^
ainn on a successivement
P. = na (Q. — Q.) ,
etc.
A l'égard du premier terme P. , il n'est point déterminé par cette formule ; mais comme on a !>"■ a= ( i + a* — 2<i ces ^) D"*"* , si on multiplie la suite Q. -f- aQj cos Ç -4- etc. par i+a* — aacos^, ^ qu'on réduise les produits de cosinus en cosinus linéaires, on trouvera que le terfue indépendant de ^
est (i + û*) Q. — aaQj , et qu'ainsi on a j
(ao) P. == (i H- a») Q, — aaQ».
Ces formules offrent, comme' on voit, un moyen très facile ae déduire les coefficiens Po , P| , P», etc. qui rép<mdeut à l'exposant 1», des coeffidens supposés connus Q«, Qi , Q», etc. qui répondent à l'exposant #1^ -f- i.
18. Réciproquement si on veut déduire les coefficiens Q(A) qui répondent à l'exposant n + i , ^^ coefficiens' P(X) qui répondent k l'exposant Uy il faudra d'abord déternnner Qo et Q. au moyen de trois équations
P. = (i +a*)Qo- 2aQ,, P. ==« wr(Qo — Q^,
Ces équations donnent
(i - «•)*Q. = . ,aaPp + —^ (i -h «•)?., ou plus simplement encore
(21) Qo + Q. -^ (,"j.
. — O s= P — 2Zllp
F=mF
546 APPEPÏDICE,
Connaissant 'Q« et Q., on* calculera les termes suivans Q^, tj^^ létc., au moyen de réquation (t3), ^aâs 4aqueHe ilfbixdm changer /i en n + t et
P(X) en Q(A), ce qui donnera
M (A — ») Q (A+ i)cp:..i±^AQ(A^-(A + «) Q(A - i).
Du là iiésciUent d«ut ^«rl^iirs de Q(A) txpnméesyViine par les ^ettt t^niMs
P(A), P (Jk -f- ï) , i*iar«tré par les tfetii termes P(a-**-i), P(A) ; «esiFftlaiys
(A^-n — i) aaI»(A— Q— (A— »)(i -t-a^P(A)
La combinaison de ces deux forOideS'raÛWSuA cœ itroisiéme plas commode dans la pratique, savoirs .* .-.. , ....
(24) qix)=j^^j^^^(x^
' Dans le cas d^^«e^^'^ eeU^ ibi(ftiul< se sônpJifie et^miie ce résultat remarquable, ^
(25) QCx) ='(i^.t^'^'-"~) [PC^ - 0 -P(^H- OJ:
20. Nous observerons qqeJlqi équations (i4) peuvent se mettre sous la forme suivante, plus cortimocle pour le calcul nuoouérique^
<m + OCX + ,j^ !i±^iei^^;z^(i±i).
19. Mais on peut pour le mémeigbjetxomtrdire des formules plus oom- !
modes et qui serviront à calculer ipam/édiatement les coefficiens Q (X) , Q(X+ i), par le moyen dte coeûteiens correftpondans P(X), P(A+i), P(A— i).
Pour cela iç tirp.de IM^viation (19),
(A4'r) J?(A4-4 " «»iQ(A>-*-Q(A4.2)[}.
jb'âîllenirs 7ëqtiation (33) donne
(A - n) Q(A+i) = 1±£aQ(A)-(X+«)Q(A-i),
Dans le cas de n:=| , ces formiileytse sbof Kfie»t;«DCQre ^t deviennent Q(x) + Q(x 4. r> ^ fsî^JT^) - P (*+ 1)],
Le cas de /is^qui donne lieu à diverses simplificfitTons, est celui qui s'applique spécialement au calcul des perturbations des planètes; il est susceptible d'être rësoli^copoglètemeist.]^ loi^finietiMis.eBEiptiques.
:ai» En effet, si Fod suppose ^ sis tt — ^ a<4^ et c^.rF n^^-M <^* •^^^^^^ • • •
D = (i+û)*(i — c'sin*4)> et 1^ valeurs de Po et P, , données par la formule (i), seront
p > r ad4^
or, par Part. ^107, tom, I, on trouve
^^^^^ o (i+a*>F'c— (i+ayE»c
*^' = ^aCl 4 ai. •
Les fonctions complètes F V , £>^ ^opiu zapportées au module c ; mais il conviendra de les exprimer par des fooctions semblables rapportées au module ^=:/i, puisqu'on a c = "^Z* ^ P^r ^^ formides de l'article déjà cité, on a . .
FV 5= C +c^)F'c« 155: <i-+» a)F*4> E'c = (i +4 )E'c* — *F'c = --j-. E*a— (i — a)ï'a,
valeurs €^1, étant sphgtituéRs dana^ leih foyoïtilet (a8))y doBasnt plus sfaMplenent
22. Kbus- rappiellerons ici' que pour calculer les quantités E'a},£'a,, il faut d'abord former la suite décroissante a, a*, it^^ a^% etc., par 1^ même kit<pi6>fe'Mi|b#dë9'BioéQteB'^', <:% c^^ ett. Faisant ensuite
-r al/o» av^d* al/a^ ;
on aura, suivant les formules démontrées dans le tome I,
E'« = ÎK(i-i«')-:H.i«'.
De là résultent ces Taleurs très silnples des deux premiers coeffidens
Po, P. ,
ensuite par l'équation ( 1 3) on trouve le troisième coefficient
P. = |aP. + iH.
Substituant ces valeurs dans les équations (21) et {22) , on en déduira les valeurs suivantes des trois premiers coefficiens Qo, Qi, Q», nécessaires au
développement de D"*,
• — (i — ay"
Q. = Qo*-K-H,
ûH —
Ces formules sont disposées de manière à rendre le calcul numérique des premiers coefficiens aussi facile qu^il est possible. Nous en donnerons bientôt des exemplea*
Les valeurs précédentes supposent que la différence i— - â nVst pas très petite, et dans cette hypothèse on n'aura jamais à calculer qu'un petit nombre de termes de la suite a , af^j â°% etc. , pour parvenir à des résultats aussi approchés qu'on voudra. S'il arrivait que 1 — /i fôt très petit, on ferait usage des formules (28), où i-— c est encore beaucoup plus petit que I —â, et on substituerait dans ces formules les valeurs de F'c et E'c, calculées suivant les méthodes que prescrit pour ce cas la théorie des fimctions elliptiques.
2^. Nous avons fait voir quels sont les procédés les plus nmples pour cal-
€uler les divers ooefficiens P(X)> Q(A), tpi servent à développer les deux puissances consécutives D*"> D*"*"'^ Si on avait à développer un plus grand nombre de puissances successives, teUes que D"^, D"""^*, D'""^*, D"^^', on commencerait car la puissance la plus élevée , et faisant a = /it -|- 3 , on calculerait les coefficiens successif P», Po P»? ^^^«9 V^^ répondent k cette valeur de n*
Connaissant le développement de D**', il faudra en déduire successivement celui des puissances précédentes D"""^*, I>""^*, etc. Pour cela il Ésiut observer que si on a ^ard à la variabilité de /i , la fonction P(X) devient une fonction de deux variables et devra être désignée par P(A, n). Or les coefficiens P{X^ /i — * 1) se déduisent des coefficiens P(X , n) au moyen de la formule (19), qui peut être exprimée ainsi :
(5o) r(A,»-i)=î:i::iii^[P(A-i,«)-P(x+i,«)].
Cette formule ne ferait pas connaître la valeur de P(o, n — i); on y supplée par l'équation (11), qui donne
(5l) P(0^?l— l) = (l+a*)P(0,») — 2flP(l,»).
Au moyen de ces deux formules on déterminera les coefficiens P(A, n — 1)^ en supposant connus les coefficiens P(A, n); on calculera de même les coefficiens P(A, 71— 3), par le moyen des coefficiens P(A, n — i), et ainsi en rétrogradant, jusqu'à ce qu'on ait les coefficiens de toutes les puissances de D dont on demande le développement.
Nous proposons de commencer par la puissance la plus haute, parce que les puissances inférieures se déduisent avec Êicilité des supérieures , au moyen des formules (3o) et (5 1 ) .
a4« On pourra aussi ^ si on le juge à propos, suivre une marche inverse^ c'est-à-dire calculer les coefficiens P(A, «+ 1) par le moyen des coefficiens P(A , h) supposés connus. C'est ce qu'on exécutera par les formules (26) , qui peuvent être mises sous cette forme :
(5^) P(A, H^,)~P(A+i, „^^y=,^±ÙE^iJÙ^^ÎÊ(tthà. "
11 est visible que les mêmes formules serviront à déduire les coefficiens P(A, n + 3) des coefficiens P(A, nH- i); ainsi le développement connu^ de D"^fera connaître le développement des puissances successives !>"■, D'^'^'j
••, etc.
T. II. 88
SSe " ^ APPENDICE,
:y5. On a vti que demi tnûWenAlMtJes^ ^ùtamw ^&tf¥>k> scdie Po^ t^it I^, elc;, doffiëeot pour dëtefomier toutes les aûlrê» Mpffé^mtéea pM* P(A) ou P(X, n), ef par conséqueut pour atoir le développemeM complet de D^". Ces àeax mêmes iranscendmteB s«^&tom donc flossî pour déteitnitief toM le» coefiiciens repnéseûtës par P(X, /* ds: A), et par conséqtfeût pour ave4f le développement de la puissance D''^', k étant un entier quelcoiique.
Dé plus, si Pon compare entr'efles les deux valeurs de A(A) ou AfA, n), données par les formules (i8), on trouvera immédiatement
d'où résulte la formule
^^^^ P(;^^I»)— i.^»,2— ià-3~» A— »^' "^ »
laquelle revient k Féquation (9)* En vertu de ce théorème, on connaîtra toujours exactement le rapport des deux fonctions P(A, n)^ P(Ày i — it); de sorte que l'une peut être déterminée par l'autre* Ainsi le développement de D""'"*"" peut être^éduit immédiatement du dévefoppement de D"*,,et réciproquement»
Donc les deux transcendantes^ qui suffisent pour déterminer en général les diverses valeurs du coefficient P(A, n), suffiront aussi pour déterminer toutes les valeurs du coefficient P(A, 1 — n), et par conséquent encore toutes celles du coefficient P(A,dbAL — n)^ k étant un nombre entier quelconque.
Combinant ce résultat avec celui qu'on a déjà trouvé, on voit que les deux transcendantes qui servent à former le développement complet de D"^, suffissent en même temps à former le* développement tant de la puis* sance D""""^*^ que de la puissance D"*^*, A: étant un entier quelconque^
$ III. application de la théorie précédente aux cas de nz=z{et n=|, oà Von montre t usage des^ fonctions MipêUfuet pùm^ Jàeiliier h calcul numérique des coejfflciens,
^. Exemple /. Soit a =7^, et soit proposé de développer les^eux
•i- -.1 puissances D *, D~*; le tabieaa suivait domie les valecnr» des eeefficieiia
successifs, jusqu'à ce qu'ils deviennent trop petits pour entrer daos le ro^
ordre de décimales.
p.o5oi8 a68o4 878
UQs^SS 64089 o.i528^ 4^606 0.01906 27992
aia 49^^
Les termes d^ la sécpnde colpone ont été calculés par la £[>rQ[iule (i i)» en fiiiéant /s=9|, et dojonant à X les yalçji^s pairo^ o^ 2, 4^ ^9 89 f^i on en a déduit l«s termes ipterméifiaires par Ja {bm^ùle de Part. i4* l^^ seconde ' colonne étant ainsi formée , pn s'en e9t servi ppur .calcule? Ig piemière au moyen des formules (?o) et (.3ï). Op connaît dope par qe petit tableau,
le développei^wt <ks dem pjuissAupes qop^épiiitiv^ J>*^^. P"^, ppur le cas deâs=s-;^; de ffunièr^qpe l'^rfiur de if^Mm pç pp»r»^i*Wii^8*é|^verà une unité décimale ,()u 4i;qèmiK pink e*
27. Exempte II. Soit^sscl-^.et sdt piqpposé ide déi^cllopper les deux
puissances IT^, D"^.
On poufraxt etiimtirr h» ^oàcsàs Gomw jàaa» ff ariaplf précédent, parce cpie le^ suites tirées .de la formule (11) ^eraient encore suffisammQpt conversentes; mais si on veut obtenir des résultats qxacts jps(|u^^-Ja d9uzièipç décimale environ , on y parviendra plus prpmptjemeUct ptar \^ formpjtle^ d.e Part. 22.
En prenant popr joioddle ^ 1= -^ ^^ ^^" g j T^ ^liA^pj» At^^ j^ff^^^t^^^^^
tiques donpe les valeurs suivaptes :
K -afc 1.07318 20071 494?
. H^ o.c^355 .q5Çi87.Q4i î
de là on déduit, par les formules de l'article cité,
