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8ai54 ■, 54889
lie peu de eônvéff geaœ de ces séries «Kigefeait (pi'eliie^ iusteot fteussées très loin , pour que les coefficiens devinssent oKgUgeaUe». 'On ci»' jugera par h .Nfopipiliff C»7f)''8'?N P^'^^. .«ppliquéej au .ca^.fle.A-q:;:^»^ donne
' ^(5o, •y)=c^.ooooa^o^ioi5, 755, ...
Soi Fuismie-là théorie dès fonptions eBip tiques peut faciliter beaucoup la détermination des 'coefficiens P(A,7) et P(X, |), dans k cas où tf est très peti Afiërent deTi^ûnite, il importe d'mmiMer avise soi^ h» mnaé-» ^enci^ tlterietiri^s ^uW potimilMléjiuii>r de «ètt» Ibéone
^Éù^ttmh
Soit donc proposée la quànut^t)»=i(i-f-a*—ia6oi^J^; je fcis 9=:a4
en faisant A = {/(i — c' ^û* 4)-
Du module c qm a poifti œn^léosÉ^Dl; &pai^t/(i,--^c?)^ en déduit le
itediite suivant c^plrWliM:mtde<f«àiYx^i bcfuslk' d9»n% 4te9 ckc.ittto
c"" c=: a , et son compléittent i* £ti (/ (t .^a^. IM érisiiîlê on ]^ilôtid*trti^ 'tfôti- Yète aûiplitttdé 4^ <ïtii sàtidâsM i-f^^usitibn trijgonomëtrl^ue t^ (;|1*:^4)= b tang 4> ou ()ui: sdit ddntiëe pafr la saite
4*=34 — ^ siû ^4 + ï a* sin 44 — J ^^ ®^^ ^4 + etc. j on aura la tramformee suivante, ou A** représente |/(i— <• sin' 4*}>
de là on tîre^ en observant que c"" ^rza^
D* = A* H- a co» 4%
Mais si on fait a» = J^^^-^, D*=i+a«»— 2a- cosr^<p<fe:a4^— ?r, on ûùtÉi sémblâblétrièïit(iy)' =ii (r-ha^A^ ou A'^ss 7^7; donc D^.^
on
(56) (, + a--2acos(p) •== i. . (,.^^)<|.-K^r ! ^>^'r
3i. La relation directe entre ^^ et>^^^^ laefNeUe oIM>béfl0t^•tte:tfiul#-• fo^natioD, est contenue dans l'équation
.laBg.<i<».--i^°)ortAoot^<pt . ,,
Mais pour qu'il n'y ait pas lieu k ambiguité, quand on veut déterminer ^"^ par le rÈàyétf âé-^, it Mt ^msgii!^* qne l'atcTip augmente' kdSfimdiént depuis la valeur zéro jusqu'à tant de circonférences qu'on voudra. Gela posé, l'arc r dewa satfsflit^ ^ liéîjaatîon #ita (ç -t-,i^-t-i^) ttii a sîti (^ H^W^; d'où l'on voit qu'en désignant' par 0 le plus petit des arcs qui ont a pour sind«^ lâ»çtiiirtit)&^^^-Jçf — î^ sienr toujours renfermée ehi^e'^ksrlÎDdites 4- 0 et — 0, de sorte qu'on pourra supposer ^^ss^t^^^TT-^-^sinAyA étant littf ariglèqtfi valieravi^ f^j-e'e&^atféili'M
^^* :s ^ tI- 9 + <i sin f; -f- sa' an aç + f a* sin 5^ 4~ etc. .
Maintenant comme it sera toujours plus petit que a, puisqu'on a
tf^ss 'TY/r H %\j ^^ fonction (D*)' se développera en une suite
Lft+ aL, cos tp'H- aL^ cos 2^® -|- aLj cos 3^ + etc. ,
dans laqadk le coefficient t(k) est en^ général la valeur de la fonction F(ty n)^ lorsqu'on fait n ;;= — - ^ et qu'on met a"* au lieu de a.
Dans .le cas de l'e^iemple III, on a a^=so.i83o8; ainsi la suite I^, L,,
L«, etc., doit être fort convergente j on trouve en effet le terme ••
Lio = o.ooooo 00007 ^735.
Cette suite étant trouvée, le développement de D*', ordonné suivant les cosinus^ des multiples dé ^^ , sera
V^7; ^ — (I— «•)(»+«•) ' l + av/a«.sm i ^<> J
On pourrait, pour plus de symétrie, mettre au lieu du terme a |/ii* • sin ^^% sa valeur
4 v'a* / 2 cos ^'^ 2 cos 2d^^ 2 cos 3^* , \
mais cette suite n'élant pas suffisamment couvergente , il vaut mieux ne rien éfaan^ir a la formule.^
- 3a. Si on voulait avoir le développement de D ', on le déduirait aisément
de l'équation (i — a') D"» = A'— acos'^'*, qui, étant élevée au cube, donne
(i — a»)»iy J s= A«(A»H* Sa* cos* 4*) — a cos 4*(5A»»+ a'cos*^*). Mais on « iA*'i5s i •— a*+ a' cos* 4* , d'où
A»( A»*+ 5a* cos* 4*) = 5 A°»— 3 ( i — • o*) A* ,
a cos 4'(3A**-|- a*cos*4') = rt* cos 54* 4" 5a cos 4* ; donc
(i — a*)»D"* = 4A«— 5(i — a*)A*+3a^co84*+a»co8 34». Substituant les valeurs A° = -^j^, >|/® = - 4-t ^°> il vient enfin
f'i J'^P-*— ^^'. 3(1— a*)(iy)î «^ -«.^o . ^.:„Sx»o
Or on a déjà fait (D®)* s= L1.4- aLj cos ^* 4- aU cc^ a^°+'al^ cos 5^®+ etc. ;
«apposons qu?on ait semblablement
(D°)» = M, -I- aM, cos f -H aM, cos aç° ^aM, cos 5f -\- etc. ,
on pourra déterminer les coeffidens M,, M,, M., etc. d'aprèâ les formules (17) qui donnent :
M. = (i -I- a°») L. — aa»L,.,
M. = — |fl»(U — L,), M. = ~ia-(L. — L,), M, =:-|tf*(L. -LJ, etc.
On connaîtra donc le développement de D"*par l'équation
(58) y;J^^Lo4-3L|Cos(P«^-3L.co52(P"+3iL,co55^^
— 5a8in7^*-|-<i*5in|^*,
et ces séries exprimées par l'angle (p^, seront en général beaucoup plus con« vergentes que celles qui sont exprimées immédiatement par l'angle ^.
33. On pourrait ultérieurement réduire le développement de D"'' à celui
de (D^*)^) dans lequel les coefficiens décroîtraient encore plus rapidement^ puisque a^ est beaucoup plus petit que a* , et il serait facile de continuer à Tolonté ces réductions. On a en efiet les équations succesfiives:
(Do)- = -.«'8inl<p-«H-^-^, (D-)*,
(D-)- = - a-8in i ç-4- j^ (D-)% etc.
d'où résultent ces valeurs de (i — n*) D**,
(i-aOD-i = asioi<p--îî^sin^-+j^^
(, a*)D^ ^ = asin i^* — 2!^ sin J(p*^— 2i!^^
etc.
T. IL 89
Mais à cause du décroissement très rapide de la smte «^ a'^ ù?!^^ a?^ , etc. , les quantités D* j D*' , !>*•• , etc. tendront non moins rapidement vers leur
limite qui est l' unité j et à ce terme ^ le produit — pjj . ^^ • ^i/^ooo* ^^c* sera ce que nous avons désigné par ^, donc on aura
(59) (i— a*)D'^==g+aâni<r^^8ini<p"— îî^^^
Cette formule a beaucoup d^analegÎQ avee ceUe qui donne la valeur d' un arc d'ellipse; elle forme une suite très convergente dont il sufBra toujours de prendre un petit nombre de termes, et au moyen de laquelle on exprimera en
quelque sorte rationnellement, la quantité irrationnelle (i-f-^* — 3ncos^)**. Màîs^ âével(if>pembit a rinconvénient d'être formé avec des variables ^y ^^y etc., toutes différentes les unes des autres, et par cette raison, la for* mule est plus curieuse qu'utile. Il n'en est pas de même lorsqu'on s'en tient à la première transformation , et il esf p^itnis de croire que l'expression que
nous avons donnée de D*^ ea foactioD de l'ampUtude ^"^^ pourrait s'appH* quer utilement dans quelques cas difficiles de la théone des perturbatioQs des planètes.
54. Si l'on fait ^ = 0, il en résulte ^•sssT) ^^ss^î^tt, ^^••^syTr, etc., etFéquàtion (59) donne
Ainsi on a en général cette valeur àe^:
Cette formule qui résulterait également de la supposition ç = çr , peut se déduire &cilement des formules déj& eonnues; en effet on a a=: ^^^ .
' I -I- flO »
^=7:^7^1 ^tc*i ainsi les difievens terfties de Ja suite précédente peuvent
s'exprimer comme il suit :
On aura donc
SECnCHï I. 5$9
Cette sërie, selon qu^on Parrête au a"* terme, au 5"», aU 4"% etc., donne successivement les résultats :
Ainsi on aura en général K=(i+a^) (x + tf^) (!+<••)# e*c-> ^? ^ est la valeur connue de cette quantité.
$ IV. Calcul des co^iens diJféremieU es la fonction ï*<x^) enfidsant
varier a.
55. Proposons-nous mainteiiAnt de trouver les coeficienB différeniUèk de la fonction P(A), pns par rapport ka. ^
Puisqu'on a en général P(x) =: Ij^î^J^^ ^ q^ différencie cette équa*
tion par rapport à a, on aura
dP
^ = -iTy -5»^ («-*'*'« 'P) •
ou
Appelons comme ci--dessus Q (x) ce que devient la fonction P(^) lorsque n se change en tï -f- 1 9 i^ous aurons
(4<») ^^ = »[Q('^-i)H-Q(^+i)-2aQCK)5. -1 \
Ainsi en supposant connus les coeffîciens Q09 Qi 9 Q»» ^^ quitappastiâni^t au développement de D***' , on connaîtra les valeurs successives du coefficient différentiel , •■ ; il n'y a pas même lieu à ex<;epter le cas de Xs=so, parce qu'alors on a Q(-^ i)=Qi> et qu'ainsi la formule (4o) donne
fî=»(aQ.-2/iQ.).
36. Si l'on veut déterminer les coeffîciens différentiels r^y sans supposer la connaissance des coeffîciens P(^/l}«)^ i) -qui répofident à l'exposant /»+ 1 9 et que nous avons désignés par Q(^)» Toici commuent on pourra y parvenir.
56o APPENDICE,
L'équation (19) étant mise sous cette forme
^P(A) = «[Q(x-i)-Q(x+i)], si on la différencie par rapport à a, on aura
substituant au lieu de ^^^p, ^a valeur donnée par Téquation (4o) , on trouve
da '^ da ~ a .^^ V ;•
Puisque n n'entre pas dans cette équation, on peut mettre P(x) au lieu de 0(^)9 et on aura paiement cette formule générale :
Mil ^(A-l) rfP(A+l)(A-OP(A-l)+(A + l)P(A-t>l) ^^p. .
Elle donne successivement
etc.
d'où l'on voit que, pour calculer les coefficiens différentiels successifs
dPo rfPi ^« ^3 ^ -1 lE-. J ** 1 J ^o c?P,
-gr-, -^, -^, rjrjCtc., Il suilit de connaître les deux premiers-^, -^.
te
