On a pour cet e&t les deux équations
^ = »(aQ.-2aQ.),
dans lesquelles il &ut substituer les valeurs de Q», Qi , Q«> exprimées en Po et P,, d'après les équations du n* i8 ; cette substitution donne
= rr5 (f. + *.-;• ^ ".>
SsECyiON L 56 1
Mais on peut mettre^c^ équ^tiops sous la forme -suivante^ plus commode pour le calcul niimériqùéV^ ^ ' "' ^
da
* . •■.■!''■« • §t . '.Il , ' -
Ces fon^ules ^ sin^Ufîent eiv>pre 4ans^',Ie cas de n = 7 , ■ et donnent
f/Vi rfP.aPj~P. tfP. i ^.
c'est aussi ce qu'on trouverait immédiatemept par la différentiation des équations (29), en observant qu op «57= a{i-<^) "> •^=~«(^ — ^ )• "58. Si ou veut avijîr la valeur générale du'cbefficient différentiel - J^^ ,
eipnbléô pair' les fonctions P seulement, on la déduira aisément des équations (40) et (^5); mais voici un. moyen d'y parvenir qiil nous fournira en même temps de nouvelles formules.
Nous avons déjà trouvé ^-^^^== — a/iy ^^ ^C^t > ^^ ^ ®^™"
l>l»Mement ^ ^ii ^^ ^f(^:Z^t^^^^î^Jlî j de là résulte
— i^2--i— û J\^z=:— j g^[(a— cos^)*cosAfl)Tt-(«— cosÇjsm^smAÇJ* Le second membre se réduit à
et au moyen de l'intégration par paiftie^, il se i*éduit iiltérieurement à
8in(A4-i)^ — asmxp , ntn+x /^dycosA^ /A + i\ /'(iip cos< a -f- 1) ^
La partie hors du signe est^ nulle dans les deux limites de l'intégrale, et
l'autre partie ===(2/1+ x) P'(x) --^--1—^ P(x-|-i)j donc on aura la formule .. '
Si on change le signe dé x et qu'on observe que la formule .... F (x)= ^ r^^*~ tJoqqeP(— x} ct:^x) , qu aura semblaBlément
562 APPÊïTbitÎE,
Ces deux équations donpent pac lepr^diEéréhce^Ia foxmxAeJ^i}) mais, pour en déduire ià valeur du coefficient chercbS j , il Wt enoore recoèrir
• ': ' da l^ ' ^ '
à réquation'('i3)^ dont la différentielle est^ '
et par la combinaison de'cestrois équation^, on aura
(46) (,~a»)^ = (V-i.+/»).P(>-i.)-(x+i-'») P(x+iH-2/uiP(x).
D-oè Ton voit que le coefficient différentiel —^-^ se détermine assez Mna-
plement par les trois termes consécutifs P(x—-i), P(x), P(^+i);il pourrait se déterminer par deux seulement de ces termes, eu éliminant le troisième à Taide de Féquation (i^) ; mais la formule qui eu résulterait serait moins simple que la pirécédente.
5g. Au lïioyen dé l^éqiialion v(l(6)"ôri* powtraît trouver la valeur du coefficient difiërentiel f^^ ^ , ^xprirtée pai* W fonctions i^); tRàis céttè' expression serait fort compliquée, et la complication augON^teraît encore âàUs la valeur des coemciëus (îklëreûfiets des ordres supérieurs. Tour éviter cet inconvénient, on pourra former successivement les coeffidens différentiels de chaque ordre, à compter des deux premiers termes od l'on a Xsso et x= I , par ia-fnéâiode-smvarite^ bnaif>gue 'li <;eHe quêtions ayons suivie pour les coefficiens différentiels du premier ordre, dans Içs art. 36 et 37.
De Péquation (40 ^^ ^v^^', par la différentiation ,
ainsi ^ on connaîtra tes valeurs successives de , ^ , si on connaît les deux
premiers termes -^-> "Tir*
Or, par la différentiation des équations (43), 01& a ces deux fbrmules:
•îrisi 00 voifc qof^'i^ ^^ ,^r :i^jm^^it»mmef^ .fMT. d^ quantités
du premier ordre ^ avant de passer à ceux d^ feccmc} ordrp».
4o; On ipùùï enooM aimpUfierocMe détermination^ otUeckacœffioîens différentiels des ordres scq^xMeurS'y parleSrit^naidàNitiauiSiSiiîiraatei. On tire d'abord des équations (4^)% ,'*'
Tv — i
dcf da* r"^ T d^'
d'un autre côté, les équatioijiS (4^) j^^orjnent ^
combinant entre elles ces équations, on en déduira les deux équations différentielles suivantes, pour détemitier.séparéipentj^ feHCtÎ0usPo,etP,
* De là on Volt que 1b coêflIcietH du Second ntàxé*^^ se idétennioera di temeiit par*levmoyen des deu^ quantités -^ et P., et que le coefficient, -j^
dVx
se déterminera de même parleiiiioyiejntde«W*'Qt'P,
4 1 * liesl méfltieS'eqiiatîons . fisfont ctoîpiaitre.y-par des: diflBtetitiatiùtisJgépétées, les coefficiens différentiels des ordres ultérietfrs. Ainsi l'équation relative à la fonction P, donne successivement :
Ces équations dont il serait fecile de trouver l'expression génërale^ font
voir que la série des ooefficienj^dfflëFentieU^^) ^^X'V '^d^* -^^^ p€«t être
prolongée auissi loin qû^ou rbadra, et qil&^lMOQft ^d^emî te^ dél toujours par les trois* pràcédens. n / . ■ , ,
4a. Gonnaissant les coefficiens >difféf Mtiels de. la fiNiotioa P.^ < en déduire ceux de P^ par les équations ^uaoessivesr
(5i) -as:- = « 37,7- "• -as- ' ' .
etc . ,
équations dont la loi est manifeste. . , |
On peut aussi déterminer~*directem€bt ces coefficiens, à compter du second ordre , par les équations successives
^^ t. . il' ' '
^ / //tP d^P fPV dP
' etc.
45. Connaissant les deux premiers termes du second ordre -^ , -j^j 0*1 calculera les suivans par Téqualion . dé^ tcouvée
Cette équation étant diBerenciée successivement^ donnera les formules sui* vantes :
SECnON I. 565
Par les ëqoations (5o), (5i), (Sa), on donnait pourun ordre ^^(Uôlcopc^ fff
les deux premiers coefficiens différentiels -^-rr *^î ^^ pourra donc, J^àr lies
équations précédentes, continuer indéfiniment le calcul des autres coefficiens <lifférenliels du même ordre k. *
Toutes ces formules sont disposées de manière queies quantités a et i — rt* entrent comme diviseurs au moindre degré possible; elles seront sujettes a quelques inconvéniens, lorsque a sera très petit et lorsqu'il sera très près de
Vunité; dans le dernier cas, les valeur» du coefficient "-^- deviennent de
plus en plus grandes à mesure que k augmente; mais les formules précédentes donneront toujours à peu près le même degré d'exactitude relative sur la valeur des quantités qu'on cherche; c'est-à-dire que le nombre de ligures exi|ctes parjesquelles elles sont exprimées, sera toujours à peu près le même.
44« Lorsque a est très petit, on peut éviter tout-à-fait l'emploi des équations précédentes, et détermina: directement les valeurs des quantités P(A) et de leurs coefficiens différentiels de divers ordres, par le moyen de 1^ formule . .
En- effet, si pour une valeur donnée de A, oïl calcule les diffiérens termes cette suite , que nous désignerons pat Ca^ , C'a'^+^ , etc. , eu sorte qu'on ait
P(X) = Ca^ H- C'^+î» + CV+ 4 + CV+6 etc. j
les coefficiens différentiels successifs de P(x) se détermineront Immédiatement par les formules ^^\
A ' =A . A— I . A— a . G<^— ^H-A+a . x4- x . aCV" ' -f ^+4 . A-J- 3 . A-J-a . Cth"*- '+etc.
etc., ,
et on voit que les calculs seront faciles à cause de la convei^ence des séries, et de l'emploi répété des mêmes coefficiens C, C, C", etc.
45. Nous remarquerons que les calculs sont susceptibles de quelque simplification, si, ayant à calculer les coefficiens différentiels de la fonction P(x) T. II. go
5(Sè APPENDICE,
qui ii^éj>ôhd'à'rexposaal njon iconnalt déjà les valeurs de la fonction Q(a) qui; répond à l'exposant 7i+ i^ En ^et, d'après lafoi^mule (4.o)) on aura successivement
^ = n(aQ. ~ aaQ.) , ['•""' ^ = „(Q. + Q. ^ :,aQ.) ,
g = «(Q. + Q,- aoQ.),
etc.
Pour avoir une expression semblable des coefficiens différentiels dn second ordre, je différencie l'équation (4o), et j'en tire
J'observe ensuite que si on met n^ i kh place de /i, et Q à la place de P dans les équations (44) et (4^)> on aura, en ajoutant ces équations,
substituant tiiette valeur dans Téquation précédente, ou aura la formule (55) ^=2;t(27,H.i)Q(x)+?[(x-,)Q(x- ,)-(x+ i^x+i)].
Ainsi on voit qu'au moyen des fonctions Q(x) ou P(^, /i+ i), on pourra déterminer les coefficiens différentiels du premier ordre -^-^ par la formule
(4o), et les coefficiens différentiels du second ordre ,\ p^r la formule (55). 46. Dans le cas' de /i=3 ^ , les deux formules (4o) et (55) donnent
^- = KQCA-i)+Q(x+i)]-^(x),
Voici l'application de ces formules au cas de l'exemple III, dans lequel on a déjà calculé lés premières valeurs de Q(^), désignées par P(x, |).
Oi
SECTKW li
rfP(A,0
oo5g4
La troisième colonne a été calculée par les formules des art. /^i\ fyx et 43. 47. On voit par le tableau précédent, que a étant peu différept de Punité,
les coefficiens différentiels successifs -^— j '^»"' -j-,—, etc., augmentent,
d'une manière fort rapide, d'un terme au suivant. Cependant dans le même
ordre A:, les divers coefficiens -—A— ne peuvent passer un maximum après le-
quel ils décroissent continuellement, et finissent par être aussi petits qu'on voudra.
On pourrait trouver une valeur assez approchée de — ^r" ? lorsque x est
très grand. Pour cela il faudrait faire usage de la formule (16) qui donne
n^I.Tl— 2 71.71+I
t-etcH.
Soit donc \ k^
F ()Et, y), F(/e, y) désignant une fonction connue
de a et des exposans fiet y ; on aura en général :
^= J:^+^ . rF(A, ») + ÎLZJ . ^ .F(A + a, „ + 0
. F(A+4, 3pi-ta)+etc.J .
