A-t-I.A-f-ai

Lorsque x est très grand , comme nous le supposons , cette suite est assea con-

▼ei^ente dans ses premiers termes, pour qu'on puisse négliger les termifê saî« yansj la question est donc réduite à trouver la fonction F pour un ordre donné A:, ce qui n'aura aucune difficulté tant que k sera d'un petit nombre d'unités.

§ V. Résumé général de la Théorie piécédente.

48. 11 ne kera pas inutile de présenter, sous un même point de vue, les principales propriétés de la fonction P(x,/i), que nous avons démontrées dan^ cette section.

I. Cette fonction est purement algébrique lorsque n est un nombre entier positif ou négatif. Dans tout autre cas, les fonctions P(x, n) forment un genre particulier de transcendantes, qui a de l'analogie avec les fonctions elliptiques complètes de la première et de la seconde espèce, et qui se réduit à ces fonctions lorsque 2n est un nombre impair.

IL Si on considère les valeurs de P(x, n), qui répondent tattt aux différentes valeurs du nombre entier x, qu'à toutes les valeurs de n qui ne diffèrent entr'elles que d'un nombre entier, toutes ces valeurs peuvent se déterminer /par le moyen de deux transcendantes seulement, pour lesquelles op peut choisir deux termes conséculiEs, tels que P(A:, n), P(it-|- i , ») ou

III. Il en est de même des coefficiens différentiels — j^ ? — ^* — y

— ^ — , etc. à l'infini, lesquels peuvent, dans les mêmes cas, être déterminés entièrement par les deux mêmes transcendantes. Cette propriété que les fonctions P(x, n) partagent avec les fonctions elliptiques complètes F'^, E'^^ n'a pas Keu dans un grand nombre de transcendantes, et notamment dans les fonctions log Ta y dont les Coefficiens différentiels successifs offrent des transcendantes différentes de la fonction principale.

lY. Les deux mêmes transcendantes qui déterminent les diverses valeurs de la fonction P(x, ndzk)^ x et ^ étant des entiers quelconques, peuvent aussi servir à déterminer la fonction P(x, i^ — /idbA:), ou simplement P(x, ± A — n).

Ainsi en général, les deux transcendantes par lesquelles on peut effectuer le développement de D^*, serviront aussi à effectuer le développement d'un terme quelconque des deux suites

y. Quel que soit l'exposant n^ pourvu qu'il soit positif, la valeur du coef-

ficient di£Pérentiel d'un ordre quelconque — 4-^^ — sera toujours positive.

VI. La plus simple des transcendantes désignées par P(a, h), est P(o, n); si on la désigne par 4(^) ou 4 9 sa valeur sera donnée par l'une ou l'autre des deux formules suivantes :

,, ,«°>=-Kt)"-+(^)"«'+(^^^=;*xI^P+««-.

YIL 11 résulte de la deuxième propriété qu'au moyen des deux fonctions consécutives 4('')) '^{^^ 0» ®^ pourra en général exprimer exactement la transcendante P(x,/i), et plus généralement la transcendante P(A,db;2-f-^); k étant un entier quelconque. U en sera de même des coeffîciens diflférentiels de cette transcendante.

49. Puisque la fonction JP(o, n) ou 4(^3 ^^ ^^ P^^^ simple des transcendantes désignées en général par P(a, /i), et qu'elle sert à exprimer ces transcendantes, nous examinerons succinctement les propriétés qui lui sont particulières.

On déduit immédiatement des équations (Sg),

d'où il suit que les fonctions 4(^)9 4(^ *~^)^ V^^ se servent en quelque sorte de complément, peuvent être déterminées l'une par l'autre.

En faisant n négatif dans cette équation, ou en mettant— * /là la place de n, on a l'équation (6,) 4(„) = (,a*)'+-4(i4.n)j

d'où il suit que toute fonction 4('^^) ^^^^ ^^ variable est n^ative, peut se changer immédiatement en une autre dont la variable est positive.

On peut réciproquement changer toute fonction 4('') dont la variable est positive, en une autre dont la variable soit négative, pourvu qu'on ait i?}>i ; cela résulte immédiatement de l'équation (60).

Lorsque n est <C i , la réduction ne peut plus avoir lieu, parce qu'alors n et I —Il sont tous deux positifs. Ainsi la formule (60) donnerait, par exemple, 4(î)=(^ —^0^4(T)>4Ci)=(ï — ^OHCI)^ ce qui ne se rapporte qu'aux fonctions complémentaires.

50. Lorsque a sera très près de l'unité, on ne pourra que très difficilement

déterminer, avec ua certain degré d'approximation, la fonction 4 par les suites (59) ; dans ce cas, on ne peut mieux faire que de chercher la valeur de

•4/(/i) par les quadratures. On a d'abord 4('') ^^ ~ / ^î ™^^ ^®*^ valeur n'est bonne à employer que lorsque n est négatif, parce que D étant très petit

pour les premières valeurs de ^, l'ordonnée ^ de la courbe à quarrer serait

très grande , si n était posiliC

Au moyen des quadratures, on trouvera donc très aisément la valeur de

4( — /») , en employant la formule 4( "- 'w) = - JTy*d(p , et cherchant la

valeur de l'aire pour les limites ^ = o , ^ r= ^.

Et puisqu'on a '^(m+ i) = (i — a*)^'""**%(/( — m), il s'ensuit qu'on aura, parle même moyen, la valeur delà fonction ^(/i) pour toute valeur positive de /i, pourvu qu'on ait /i ^ i.

11 reste donc à voir ce que l'on doit faire lorsque n est positif et ^ i.

5 1. Si on faitV = g^, et qu'on différencie chaque membre par rapport à ^, on aura, après quelques réductions,

WV = (i+n)(i-.a*)-]^.-(«H-2«)(H-«*)^ + »ê;

intégrant de part et d'autre dans les limites ûxées, et observant que dans ces limites Y s'évanouit, on aura la formule

(6a) o=n4(?î)— (i+2/z)(i4-û*)4(/î4-0+Ci+»)(i— «')'4(^+3)- Cette formule, au reste, serait facile à déduire de celles qui ont été trouvées

ci-dessus pour les fonctions P(x , /i) j mais nous avons préféré de la démontrer

directement.

5a. Au moyen de la formule précédente, toute fonction '^(n)^ dans laquelle n est plus petit que l'unité, pourra s^exprimer par les deux fonctions ^(n -|- I ) , '^(n + a), dans lesquelles la variable est plus grande que l'unité ; celles-ci se déterminent facilement par les quadratures , ainsi qu'on l'a (ait voir dans l'article précédent : le cas de n positif et < i se résoudra dont de même par les quadratures.

On aura , par exemple , d'après la formule (6a) ,

4(i)=:5(i+û*)4(l)-4(»-«')'>Kf);

d'un autre côté par la formule (60) , on a

donc

et par conséquent 4{j) se détermine au moyen de la formule

55. Connaissant les fonctions '^(n) , '^(n + i) , '\^(n + 2) , etc. , au moyen de deux d'entr'elles , on pourra de même déterminer les valeurs de leurs coefficiens différentiels successif , pris par rapport à a.

Eu effet, de l'équation 4(71)=^^^, on déduit fî^^=— ^/(a— cos(p)

g;^. Substituant la valeur a — cos ^ = i 5^"" 5 ^^ viendra -^- =

± r^ îîÇlir^) r^ ee qui donne la formule

11 est visible que par cette formule on pourrait obtenir la valeur du coefficient différentiel ^ V* , exprimée par les fonctions 4W> 4(^+0» 4('* + ^)>

ou seulement par les fonctions '^{n) , '^(n + i) , puisque '^(n + 2) peut être éliminé au moyen de l'équation (62) : on aurait de même ^expression des coefficiens différentiels des ordres phis élevés. Mais on peut plus directement parvenir au même but par le nioyen des équations (5^) , où la fonction désignée par Po^n'est autre chose que^C^) ou 4- En vertu d^ces équations on a d'abord

(64J (a - «3) ^:| + (, a« - 4na') ^ - 4»-«4= o;

d'où il suit qiie le coefficient différentiel du second ordre -;7^) se détermine

directement par le moyen de ^elde-j-^ et qu'ainsi il peut être exprimé par les deux fonctions 4(^) ^^ 4('*"^* ')• ^^ ^^^^ ensuite par les mémev équations, qu'à compter de •^, un terme quelconque de la suite '^y 'j^j

^"> d^^ ?1* ^^^' ' ^^ déduira des trois précédens, suivant une loi dont il serait facile de donner l'expression générale.

^WM^MM><^»»M^^%<^M^M»W^^^»Wii<»^»M»<<»M<WM%WWWW<»»»»»»»WWW»»»»W»WW»»»»»»»»»^^

Des Quadratures.

A^Paàs avoir traité d'un grand nombre de transcendantes que Ton peut évaluer avec plus ou moins de facilité par les méthodes qui leur sont propres, nous allons donner les moyens de trouver la valeur aussi approchée qu'on voudra d'une int^rale quelconque J/d^ prise entre deux limites données^ ce qui est l'objet du problème général des quadratures.

§ I. Formules générales pour les Quadratures.

54* La question étant de trouver la valeur de l'intégrale Zz=zjyda: entre deux limites données, nous prendrons pour ces limites a:;=o et a:=a; parce qu'on peut toujours fixer l'origine des abscisses au point où commence l'aire cherchée, de manière que Zi et x s'évanouissent en même temps.

Pour obtenir plus facilement le degré d'approximation qu'on peut désirer, nous supposerons :

i^. Que dans l'intervalle donné depuis J: = o jusqu'à ar=ii, la fonction^ reste constamment de même signe, et nous regarderons ce signe comme positif j s'il en était autrement, on chercherait successivement les différentes parties de l'aire situées de diSerens côtés de la ligne des abscisses , et on re* trancherait la somme des aires négatives de la somme des aires positives;

ja**. Que la courbure de la courbe , depuis x=o jusqu'à x=â , n'éprouve

aucune variation assez brusque pour que l'un des coefficiens ^, ^, ^>etc.,

devienne infini. Ainsi dans toute l'étendue de la courbe que nous voulons quarrer, l'ordonnée qui répond à une abscisse or -{-a très peu différente de X, pourra s'exprimer avec une exactitude suffisante par h suite

^+a^+ — .^-H-^» ^+^c. , sans qu'il y ait lieu à exception pour aucun point. Cette condition est surtout nécessaire aux deux limites de l'in-

SECTION n. 573

iégrale (*); elle est moios importante dans- lés points intermëdiaires parce que« ^i elle n'avait pas lieu, on trouveraat assez facilement dans chaque cas particulier la correction que cette cause d'anomalie exigerait. ( Exerc, de Cale, intégr.y tom. I, pag. 5i4.) " ^

55. Cela posé , divisons ep n parties égales la base a 4^ l'aire que nous voulons évaluer , et soit a= /lo»; on pourra imaginer que l'aire cherchée Z est composée^.d'un nombre n de trapèzes ciirvilignes: sur un coté^, dont la base commune sera m^ et qui auront pour côtés parallèles deux termes consëcuti&de la suite Fo, Fa, F(^û>), F(5û>). . •F(?mi>), formée en supposant

Le premier trapèze est mesuré approximativement par 7û^(Fo4-Fûi), le second par î cû (Fev -f- Faoi) , ainsi de .suite ; donc )a sonme de tous le sera par la suite

où il faudra faire or =sa = ncû. Cette suite étant représentée par /i^M ou aM.y M sera la moyenne des -/s ordonnées x{Fo«t»E^> Foi, F(2û»). . . . F(x— âi), la première ^(Fo + For) étant elle-même une m'ôyenne entre les deux extrêmes Fo, F^. ' , ' •

On peut encore évaluer , d'une manière approchée, le premier trapèze par iâ^dùt), le seqcAid par o»F(4û»), , etc., et la somme de fous par la suite

û>[Fi^4.F|ft> + Ff«... +F(x — |û»)].

Cette suite étant représentée par mûN ou aN, N sera la moyenne des n ordonnées F 7 o», F | ai, Ff «... ¥(x — iû>).

Ainsi > nous avons deux valeurs approchées de l'aire Z, savoir Z == aM et Z =: aN. Mais il reste à trouver la correction qu'il faut appliquer à ces valeurs approchées pour en avoir de plus exactes et pour connaître en même temps le degré d'approximation qui correspond à la valeur prise pour n et qui doit augmenter à mesure que /» est plus grand ou û» plus petit.