Pour cet efièt, soit V ou V(ar) la somme de Ja suite

F« + Fiie» + F5fl».... +F(ar — «)-HF(x);

(*) La simple substitution s=:^, ou a— ^xsi", suflira^ en déterminant conTenaUement Pexposant m, pour faire remplir cette condition dans l'une des deux limites ^ au moins pour quelques-uns des premiers ooefficiens différentiels.

574 APJPENJPICE,

si ota met a: -^ 6» 4 U pldce <k 4C et qWoni prenne, hi difforwee des deux suitea, on aura' lB(x)ss; Y(x) "^ Y{pd — ^ «) ^ oa.

De là» on peut tirer thie valem* de ùêY qui sera dé î& forme ' i

. , û>V=^:/RirH-i£»EnfrAV^+»«^^HHG'ai4g4.eto.5 |

( et comme cette équatîou e^t linéaire: par rapport aux i^cticois F et Y ^«les '

coefliciens A-, B', G\ etc. seront les mêmes pour toute valeur de Y«Soît »

donc Y ou Y(a:) = e', ou aura .

Donc

ou

3». *! "*"* ; aci -J- A'mf + BV H- CV + ly*»» + «te.

Le premier membre est une fonction paire de ûi , le second^ memibre ne doit donc contenir non plus que des paissaoces paires de «»• PoupaTt>ir ^rd à cette propriété, nous prendrons de iiou¥eaux' coefiieiens A., A^^ Ai, et)c., teb qu'on ait

«V = fVdx + >F + A.«» f - A.«* g -f A,a»« g - etc. , et ces coeffîciens seront déterminés par l'équation

\(à . ^ =. y/^ A jO)' — A.û)^ + Aj^* — etc. y

ou, en mettant a^/— 'i à la place de fû>,

I — z cot 2 = ^•A, z' •+• a^AàZ* + a^Aj «* -4- elc;

Or, on sait qu'en faisant H, =:^-. S,«, S^ étant la somme de la suite ^ •f"^« + 3ï;;:"H 7n; + etc., on a la formule

I — z cotz = aHj z' + aH.z* + aHjZ® + etc.

Ainsi les valeui;s de A,^ A», At^. etc.> se déduisent, très aimpleaieiit. de celles des coefiieiens Hi > H.., H|., etc. , et il tn^ résulte la: fermpile ijévéuale

SECTICMS n. «^ 5^5

Cetteformule coïnc nie avec -ceUe^ qu^ donnée Eulér'pOitr lé cas de€Ê=:i , dans son Cale. diff.BXt* <ii5jmw la^forme précédente parait préférable en ce que

les coeflSciens — H,,. -jH^j.-jHj. etc., offrent une suite très convergente,

dans laquelle le I^^Jiort dediaqtie terme au pt^cédent tend de plus en plus

vers ia limite t^^^t^ à^peu {icès.

57. SI on suppose maintenant comme ci-dessus, que l'intégrale z z=zfEdx est prise à compter de â;= o , on ainra eh même teln|^ la somme ^lY = o ;

et SI on désigne par ro, -j-y "J^i ^^^'9 *^ valeurs dex ,-^,^ -j^y etc.,

lorsque oszsso^ il&udra ajouter à l'équation (1) une constante qui réduise les deux meti^'és-à-zero lersqde Ar^ a. On àuraths cAtè nh^hiére la formule

Or la fiwite 4âqgnée pftr oiV est telle ^'Aikik4)«|iUi«t leténiK {»(|fFo-^^Fâr),

^-^Hy^^-^ -'^-;— etc.

Pour avoir semblablement la valeur.de aN, il &ttt4'câ>«rd ohetlre^ « au lien de 0» dans la valeur de oiS , ce qui donnera l'é<|nation

i »[Fi« -H Fa-f F|«. . . . 4- F(af — i»)+Fx] ■ =/Fi:t4-i«(Fx-Fo) + 5 H. (f-^^)

Le premier mettre :s ^ «V + t oI^> <iùiù en multipliant les deux membres

par 2 et retranchant de part et d'autre la valeur de â V, on a^ira

58. Il ne reste plus qu'à substituer les Valeurs numériques des coefficie:n5 H,, H., H3, etc., lesquelles sont

H. =5 , H, =s— , H, =^ , H^= ^V H, =p555 , etc.,

et ou aura pour l'int^rale cherchée J'Fdx, ces deux expressions

* \%\^x 'dxj "^ "jao \dj? du?)

On voit par ces formules quels sont les termes quHl fisiut ajoufar aux quantités aM et aN pour avoir la vraie valeur de l'intégrale fFdx. Cei' termes forment en général une suite infinie qui ne peut se terminer d'elle-même que dans quelques cas particuliers , par exemple , lorsque F sera une fonction entière de x. Mais dans tous les cas on obtiendra tel degré d'approxi* mation qu'on voudra , en prenant ea suffisamment petit , ce qui permettra de réduire à un pu deujc termes au* plus, )a correction qui doit être ajoutée à la valeur calculée de aM ou de âN. Au reste, pour diriger convenablement le calcul, il y a différens cas à examiner.

59. I*. Si la quantité -r- — ^ qui dépend des deux limites de l'intégrale, n'est pas nulle, ce qui est le cas le moins favorable , ou pourra, d'après la valeur dé ^ — ' -rr déterminée daus ces mêmes limites , voir quelle doit être à pQu près la valeur de û» pour que le terme "~ vE* "^'"5^7 appartienne à l'ordre de décin^ales qu'on veut n^Uger. Cette valeur de cù fera connaître celle du nombre entiernss- qui r^le le

nombre des termes à calculer dés suites représentées par aM ou par oN. Ensuite on aura avec le nombre de décimales désiré la valeur defFdXy soit

par l'expression /Fdx = aM. — ^ f^r — - 7")> ^^' P^** l'expression . • .

3"* Si dans l'hypothèse du cas précédent, on veut admettre les deux premiéi*s termes de la correction, il faudra preinire co et par suite l'en-

rt , Il i . ., . •* /ûPF {fiFo\

lier /» = -, de telle sorte que le troisième terme 5 — j- v^"^"^^) appartienne à l'ordre de décimales qu'on veut négliger. Alors on déterminera yT<£r avec ce degré d'approximation par l'une ou l'autre des formules

/F^=aM--(^-^) + — (^--^> (5)

On peut aussi de ces deux formules en déduire une troisième, savoir :

dans laquelle la correction n'est que d'un seul terme; cette formule s'ob* tiendrait directement en considérant les n trapèzes dont Vsàre /Fdx est composée^ comme étant terminés chacun par un arc de parabole; mais le calcul de cette formule serait plus long que celui de l'une des formules (5).

5*. Si les deux limites de l'intégrale sont telles qu'on ait 51 """-^ = o,

alors les formules se simplifient ^ puisque la partie principale de la correction disparaît, et il devient d'autant plus facile de calculer avec un degré d'approximation déterminé l'intégrale /FdXy au moyen de l'une ou l'autre des formules

4*. Il y a enfin un cas qui est susceptible de la solution la plus simple et la plus exacte , mais qui ofiVe une sorte de paradoxe analytique assez difficile à expliquer : nous allons l'examiner avec tout le soin qu'il mérite dans le paragraphe suivant.

§ îl. Examen iPun cas particulier fort remarquable.

60. Ce cas est celai où les. <X)effîcîens diffiâcenctiBls ^ de degpë impair

/ft^ jjp ^fiv

S' Sa"' S^"» ®'^*> s'anéantiraient tous dans les deux limites orcso^xcsa.

Par exemple, si on avait F(ar)==:{i— «c* sin*a:)*, A: étant un exposant quelconque entier ou fractionnaire , positif ou négatif, et c étant < i ^ il est visible que les coefficiens dont il s'agit seraient tous nuls pour les limites ^s=3 0, ;r:= f^Tt; parce qu'ils Sont tons affectés du facteur sin x cos ar et. qu'aucun d'eux ne peut devenir infini. Dans ce cas paj'ticulier les for^ mules (4) donnent JfTdxzs aM et fEdxss^, d'où l'on devrait coa* dure que non-seulement les quantités oM et oN sont ^ales entre elles j mais qu'elles sont l'une iet Pautrte indépendantes du nombre' entier n qui désigne le nombre de termes des séries dont aM et aN représentent les sommes.

Cette conclusion est tout*à-fait inadmissible; car indépendamment des considérations générales qui doivent la faire rejeter , l'application de f exemple précédent aux deui valeurs particulières i^^j^ )^ 3= — ^, donnerait pour les fonctions complètes E'c, F'c, des valeurs de la forme

- A, -B,.où A et B seraie^nt déterminables algébriquement j résultat entiè-

rement contraire a la nature Qonnoe de ces traoscendantesi.

Il &ut donc avouer que le calcul nous induit ici «n erreur, «t quVmne voit guère par quels moyens il pourrait être redressé. Voici cependant une manière d'expliquer cette espèce de paradoxe.

61. Supposons qu'ao lieu de diercher l'inl^ale fFdx depuis xszo jusqu'à a:=s«, on «veuille seulement la déterminer depuis ^esso jusqu'à xssa «^ et, a, étant une quantité asez petite pour que uFa puisse 4tre sé^ gligé par rapport à l'intégrale fYdx. Alors on pourra regarder -l'intégrale dont la limite est x att a -— a^ comme sennblement égale à l'intégrale dont la limite est x = a.

Mais 9 lorsque la limite est a — » «t au lieu de n, les coefficiens difierentieis

ST' "3?"' d? ' ' ^® s anéantissent plus pour cette limite; ils sont

d'abord très petits et presque nuls, lorsque la difiérence est d'un degré peu élevé ; ils augmentent ensuite très rapidement selon la nature de la fonc** tion F; car , par exemple, si on excepfe le seul cas où l'exposant m est un entier positif, les coefficiens diffi^rentiels de la simple puissance 3^ forment

la suite

/iMc:"-*, m{m — i)ar"^', m(m — i) (m — 2)af^^^ etc.,

où l'on voit qu'à compter du terme où l'exposant de x devient n^atif, les ' ooefficienssuivans augmentent dans un rapport qm surpasse bientôt tout nombre donné.

Cela posé, la valeur de /*F^ étant représentée par la formule

•• ,, û?F . m^ „ ûPF

on voit que la série qui sert de correction à la première valeur (a — a) M , sera convergente dans ses premiers termes qui seront d'abord très petits , mais qu'ensuite faugmenlation progœ^sive . des, eqefiidcns différentiels agira en sens contraire de la diminution opérée par les facteurs décroissans

— H„ -^H/, etc., et qu'enBn il y aura un terme où la série deviendrait

divergente.

Avant d^atteindre ce terme, la partie de ta série

qui est convergente, servira à corriger la quantité (a -^ a) M, et la correction sera de plus en plus petite , à mesure que cù sera plus petit ou n plus grand. On rentre ainsi dans l'effet ordinaire de la formule générale d'approximi^oti', qui ebt de donner im résultat d'autant^ plue e%?tt% qu'on aura divisé la base a en un plus grand nombre de parties.

62. Le calcul que nous venons d'indiquer dans l'hypothèse que l'on prenne a — tt à la place de a, n'est utile que pour l'explication que nous voiilions en tirer, et il n'y aura jamais Heu à Fexéçuter. Mous en conclurons seulement qu'ayant choisi une valeur Ae nk volonté, d'après laquelle on calculera les quantités iiM et aN, l'intégrale /^Fiila: prise entre les limites xc=o,ar = â, sera donnée avec à peu près le même degré d'approxima^ tioa par l'une oa par l'autre de ces deux quantités. On ne peut fixer a priori ce degré d'approximation, mais on peut assurer qu'il augmentera de plus en plus, à mesure que n sera plus grand. Nous donnerons bientôt un exemple daas lequel on verra qu'en doublant la valetar de n , on double le nombre des décimales ou plutôt le nombre des chifire» signifieatdfr exact» du résultat. C'est ce qu'on peut démontrer en général pour intégrale fdx{i -— c* sin' .r)*, prise depuis x = o j^usqu'à xs» J^,i. dans la supposition que c est <C i •

58o APPENDICE,