En effet, on peut supposer

(i — c' sin' xy = A^ ■+- 3 A| cos a x -4-a A^^ cos 4^+ a Aj cos 6 jc -f- etc^

les coeffidens A», A., A», etc. étant des fonctions de c et de A: qn'il est facile d'exprimer en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de c*. D'après ce développement, l'intégrale fdx[\ — c* sin^^r)*, prise depuis jc = o jusqu'à X := 7 ?r , a pour valeur exacte A. .^ ^. Voyons jusqu'à quel point 'on approche de cette valeur par la formule suivante où l'on doit

faire û> = — et F(x) = (i — c' sin*ar)*j

- N=:û> [F J « + FÎAi + F f «...-H F ï^=^ ai].

D'après la formule précédente ^ on a

Continuant ces séries jusqu'à la n'*^ qui représente ^{^^ «\ et fiiisant la somme de toutes, on aura

- N = « [ Ao» + aA,/cos » -|* aA,/cos a« rf- 2A^/cos 5û>-|-etc.] ,

expression dans laquelle y^cos ûi représente la somme cos û» -f* cos 5âi 4~ cos5û» jusqu'au »'*"* terme inclusivement -f-cos (^n^ — i)év; de même /cos a«* représente une somme semblable dans laquelle on met aoi à la place deâ#, et ainsi à l'infini. Maintenant il résulte des formules connues pour la somme des cosinus d'arcs en progression arithmétique (Introd. in Anal. ,

art. a6o), qu'on a en général/* cos i?m» ;= *"^| /* ^ « Donc tant que m n'est pas égal à 2/1 ou à un multiple de a/i, on a/cos/Tio^sao; mais si on a 171=: am, i étant un entier, la fraction !îîîiî2ïî2 ^^^^ |ç -innuérateur et le dénominateur s'évanouissent dans ce cas, aura pour valeur 7 — v~ ou — = n cos f^r. Donc , on aura en eeneral

ameo8(m«) cos m* ' ^

(8) ^ N= J[A, — 2A„-|-2A4,---2A,. + etcJ,

t «* ■•• ir

on trouverait^ par* la même méthode^ -

î M = ^ [A, H- 2A„ -i- aA^ H- aAs. + etc.]. (9)

64* Ces formules font voir que la correction qu'il faut ajouter à A!ijit^grale approchée- M pour avoir Tintëgrale exacte^ A., est

( , — ?r(A»rt- A^-frA6.4-etc.); ,

et parce que le coefficient A, comparé aux puissances décroissantes (^y c^y c^j etc., est en général de 1 ordre c^", la correction précédente sera censée dé l'ordre c*".

De même la correction quHl &ut appliquer à l'intégrale approchée - N pour avoir l'int^rale exacte - A,, est