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qui est le quiirré de la soite précédente 1 -f- Ao? —g^ ** •♦* ^*^ > ^^

qui vient du développement de la fonction T*.

699. Les deux formules dont nous venons de parler fournissent deux méthodes différentes pour construire une Table des valetn*s de l'intégrale HuBB fudPy correspondantes aux valeurs de ^y formant la progression o, a, 2«, 3«, etc.

Suivant la première formule ^ il fiiiil; calculer les. valeurs successives de la fonction donnée P = ok^ , i^ étant ce que devient u lorsqu'au lieu de ^ on met 9 + î ^ • Par cette substitution , P est toujours regardé comme une fonction donnée de 9, qu'il faudra calculer ponr chaque vateur de ^ comprise dans la Table. Ainsi pour les valeurs successives ^ , 9 + ^9 9 + ^^9 etc., on aura les valeurs correspondantes P^ P^, P'', etc., et ees vtileurs étant portées daos la Table ^ chacune sur la msSnte Ugne horiaontale que la valeur de 9 à laquelfe elle correspond , on en déduira leurs différences premièrea, secondes, troisièmes et quatrièmes ^ dont en fera aattmt et eoloDiMa séparées, comme on le voit dans le tableau suivant :

poo

«TP

J\.poo.

J>spoo

po

cTP»

J«po

«TP

«TF'

J»4po «f*P

Chaque colonne se forme àv la précédante. par soustraction, et renferme un terme de moins, de yirte qu'il iîÉut que la colonne des P ait été prolongée jusc|u'aux P'^, pour que; la, di£Séreace cT^P f^uiase être connue et placée sur la ligne des ^ et P. , .

Lorsqu'on aura formé poitr chaque valeur de fa variable 7, les quantités P, J^P, iT'P, J^P, J^P, on en eoncliir» pour la même variable ^, la

• CHAPITRE m. 5ï

valeur de la différence i^U, laquelle sera

J^U=^P+^>P--^gi^^*P- + elc.

700. 11 faudra faire attention aux indices qui aSecienl les differens ter-, mes. de cette formule , et en vertu desquels le J^*P^ doit être pris dans Iti ligne immédiatement au-dessus de celle où est P , le /fP"*^ une ligne encore au-dessus , et ainsi de suite.

En général, l'intervalle et doit être pris assez petit pour que la suite précédente soit très convergente et qu'on n^ait besoin que de ses deux

premiers termes P + "7 J^*P° ; le troisième — g^- «T^P* servira seulement

à diriger Tapproximatiou pour savoir précisément sur combien de décimales on doit compter, et il faudra par conséquent que ce terme soit moindre qu'une demi-unité du dernier ordre de décimales auquel on veirt s'arrêter dans la valeur de J'U.

Il pourra arriver cependant que duns; quelques parties de la Table qu'on veut construire, le ternu) dont il s'agit sôTt d'une ou de plusieurs unités diécLmales du dernier ordre ; alors il faudra en tenir comptai et jug^r de qe

qu'on négHgt par le terme suivant de la série q'^i ^^t + -jg-^-^ cT^P*^^ ce

qui obligerait de prolonger la colomie des différences jusqu'au sixièni/e rang.

701. Ayant 6xé d'avance le nombre des déqimales ^vec lequel on yeut

exprimer les différences JH , ou oalculera —7 J^*P^ en se bornant au noflfer-

bre de décimales 6xé. et négligeant \e reste dt la division par a4i >Mis pour plus d'exactitude, il sera bon de prendre toujours l'entier le plus approché du quotient, et de tenir compte du reste dans Topératiou suivante. Supposons, par exemple, que /•?• divisé par 94^ donne le quotient q et le reste r; alors dans l'opération suivante, pour former /C, on di* visera J^*P + r par a4, ce qui donnera le quotiait q' et le reste r', et ainsi de suife* Cette manière d'opérer ^ dont nous avons fait l'épreuve, donne des résultats plus exacts et empêche les erreurs de se multiplier.

Nous distinguerons cette prenfiière méthode par le nom de Méthode dés ordonnées moyennes j parce que l'ordonnée (^ qui sert à former l'auxiliaire P = tfi^, répond a la variable ^ + t «, moyenne enïre les detTx valeurs consécutives <p et ^ -4* ^ > elle suppose que la quantité P est calculée pour chaque valeur de f ^ avee une grande précisiez , et même avec une où

5a CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES^

deux dëcimales de plus qu'on n'en veut avoir dans la valeur de U ; or la quantité P , peu di^rente de la différence première J^U, est souvent d'ime grandeur telle qu'il faudrait la calculer par des Tables de logarithmes à dix décimales , ce qui rendrait les opérations fort longues. Si l'on se propose, par exemple, de calculer les fonctions elliptiques E et F avec dix décimales , et pour des amplitudes croissantes de demi-degré en demi-degré, les différences cTF , J^E devront être calculées avec douze décimales, et elles contiendront le plus souvent dix chiffres significatifs ^ ce qui exigera l'emploi de logarithmes qui aient au moins dix décimales.

70a*. On pourra ordinairement obtenir des résultats aussi exacts et avec

moins de peine , par le moyen de la fonction Q =s «t* ^ qui sert à déterminer les différences secondes J^TJ. C'est 'l'objet de la seconde méthode que nous avons à exposer.

Il &udra alors faire usage de la formule

et on prendra et assez petit pour que la suite se réduise sensiblement aux deux premiers termes , ce qui aura lieu si le troisième -7- J'H^ est partout moindre qu'une demi-unité du dernier ordre de décimales auquel on s'arrête dans le calcul des quantités ^*U.

On voit qu'en attribuant une valeur déterminée à 9, et prenant la quantité Q sur la même ligue, il fiMidra prendre J^^Q" sur la ligne supérieure

pour former la somme Q H J^Q^i cette somme représentant J^^U^ , devra être portée également sur la ligne supérieure qui répond à la variable ^ — a.

La colonne des J^V étant ainsi formée , il restera à avoir la valeur de J^U correspondante à ^ = o, et c'est ce qu'on obtiaidra immédiatement par la première formule. Au moyen de cette valeur et de la colonne des diffisrences secondes , on formera la colonne des différences premières J^U , et de celle-ci on conclura de même par addition , les valeurs successives de U.

7o3. Cette seconde méthode sera en général d'une pratique plus facile que la première, parce que la fonction Q est beaucoup plus petite que P et n'a pas besoin d'être déterminée avec un aussi grand nombre de cliif-