CHAPITRE
On a vu dans les art. 704 et suivans comment les calculs doivent être disposés pour former graduellement la série des auxiliaires et celle des fonctions. Pour éviter à cet égard tout embarras, voici commenl on mettra en usage la dernière formule
eT^U- = S + ^ J^* — etc.
La valeur de S étant donnée en fonction de ^, on pourra calculer préalablement, avec telle étendue. qu'on voudra, la suite des quantités S, tant dans le sens des variables croissantes Çj (p^a^ <p ^ aa^ etc., à partir de la première valeur de ^, que dans le sens contraire ^ — ât, (p — 2a, etc. , s'il est nécessaire. Avec ces valeurs et leurs différences successives, pro-* longées jusqu'à ce qu'elles puissent être négligées, on formera autant de lignes qu'on voudra , telles que les suivantes :
S» , «rs« ,
«r*S* , «PS» , <f*S' , etc.
S , /S , S' , «TS' , S", cTS",
J^'S , «r»S , cT^S , etc.
«T'S' , «r»S' , «PS' , etc.
«r-S" , cT'S" , <f*S' , etc.
Cela posé , puisqu'on a en général
«PU = S" H- g <PS' J*S 4- r4^-o J"S« — etc.
( valeur qui se réduira le plus souvent aux trois premiers termes ) j on voit que pour chaque valeur de ^ , la Table des quantités S donnera immédiatement la valeur de eT^U, laquelle jointe aux valeurs connues de U, J^U, cT^U, J^*U, servira à former dans la ligne inférieure les termes U', J^L',
Calculant de même la valeur suivante de cT^U , qui est cl^^U';, on formera une nouvelle ligne h' , (TU", J^*lj' , «T^U* , et ainsi jusqu'à la limite de la Table qu'on veut construire.
On voit que pour être en état de calculer le terme J^*U qui sert à trouver U'^, il suffira d'avoir avancé la série des S jusqu'au terme S*' qui sert à trouver J^S, en supposant du moios que la valeur de J^^JJ soit exprimée d'une manière suffisamment exacte par les trois premiers termes de la formule. Ainsi , dans les cas les plus ordinaires , la série des S ne devra pas être prolongée au-delà de la valeur de ^, où doit se terminer la Table; dans ces mêmes cas 011 l'on n?a point égard au quatrième terme de la formule contenant J^*S^ , le calcul des quantités S ne* devra être fait qu'à
compter de la première vileor de py puisque les quantités précédentes S^, S^ y etc. y ne seraient d'aucun usage.
711. Il ne sera pas inutile de réunir ici, soiis un même point de vue, les difierentes formules que nous ayons trouvées , pour former une Table des valeurs de l'intégrale U, lorsqu^ou suppose connu , en fonction de la
seule variable (p , l'un des coefficiens différentiels ^ , -^ , -^ , n-f ;
voici ces formules- où nous avons constamment désigné par P l'auxiliaire qui doit être employée dans chaque cas. ^
Soit i". l'intégrale U =/W<p; on fera P == «1^, if étant ce que devient la fonction donnée u y en mettant ^ •{« f « à la place de ^ , et on aura la formule
J^U = p + ^ cT-P» - gi^ <r^Po» + ^-1,. <f «p-» - etc.
Soit 2^. l'intégrale U s= ffudp^ j on fera P = a*w , et l'on aura la formule
cT-U- « P 4- JL J>-po « ' jup^ + 3i ^pooo etc;
Soit 3*. l'intégrale U = pud^^y on fera P = t^s^ , p étant ce que devient u y en mettant ^ + 7 ot au lieu de ^ , et on aura
cT'U* = P -H 5 J^^P* ^ ^^"^ 4- -^o cT^P^ — etc.
Soit 4*. l'intégrale U s: f^ud^^y oq fera P = a^u y et l'on aura
c!^U«> === P + i cT^P^ -- — cT^P^^ + 7^^^. cTT^^
Il serait &cile de prolonger à volonté la suite de ces formules, en observant la loi qu'elles suivent et qu'on démontre généralement par l'ana- Ijse du n^ 696. Ainsi pour l'intégrale U =s fhêdp^ y on ferait l'auxiliaire P = ai?i? y et on aurait la formule
JSUoo = p ^ J- JV.po ^ J^ J^4p•• 4. etc. 'y
pour l'intégrale U iBAfHid^^y on ferait P =s «*£i, et l'on aurait la formule
j\eUoo# — p -1- i Jv»po ^ J>4p«o ^ etc. ,
ainsi des autres.
Quant à la loi dos coefficiens, elle est la même que celle qui résulterait du dévdoppement dé la puîssanct
