CHAPITRE m

n désignant Tordre de l'intégrale proposée U ^=if^ud^^.

71:1. U serait i désirer qu'on put ealculer par des fyroéëdés semblables et avec des suites aussi convergentet^ les râleur» succ^sives d'afie fonetiou

U donnée par une équation différentielle du premier ordre -r- :^ . . . . •

fouet. (U, 9), ou mâme par uii# équation dififércnlielle d'un ordre plus élevé. Ce probléo» est de la même nature que ceux qui coneerBeut les intégrales simples ou multiples \ mais sa résolution ofire beaucoup ]rfiis de difficultés, et jusqu'à présent nous ne voyons d'aulre meyeu d'y parvesir que la formule de Taylor

qui sert & calculer la différence finie d'une fonction par le moyen des coefficiens différentiels successifs de cette fonelio*.

Si l'équation est du premier ordre , le premier coefficient •nr- sera donné

^ fo&6tio» de U et de ^, et les sui^ana -^^ ^^ etc., s'en déduiront par

la différentiation. On pourra donc^^ d'une valeur donnée de U correspondante i ^ = ^ , déduire la valeur suivante U' = U H* J^U , correspondante à ^ =: e *f- ot, et ainsi successivement. 71 3. Si Péquation est différentielle du second ordre ^ alors faisait. • • •

^ as i<, le coefficient -j^. sera une fonction donnée de u et de ^ ; on en déduira par la différentiation les- valeurs dea coeffidens suivana -^^ ^ y etc. ,

exprimées semblablement en fonctions de u et de 9.

Connaissant donc les premières valeurs de U et de u qui répondent par exemple à ^ = e , on trouvera tes valeurs suivantes de U et de u qui répondent à ^ = ^ + ^ 9 su moyen des formules

i.p, ^ . *• iàX} . «3 ^^ ^1^^ . crB = i»«-h--^-h^.5j5r'^etc.,

d'où l'on déduira U' = U -J- J^U ,. ji::=s^U'\r ^^' Par ces nouvelles valeurs de U et de i^ qui répondent k ^^= e^ a^ on trouvera semblablement les valbui^ suivautes qin> répondent! àr 9 dB=f ^ i<t^ aa , et anaiiv guooeMveiMnt

6o CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

jusqu'à la fin de la Table. Mais ces calcub qu'on doit faire ainsi pas à pas pour que le résultat en soit plus exact , sont très longs et très difficultueux.

U serait d'autant plus utile de perfectionner ces méthodes en rendant les suites plus convergentes , que la réduction en Tables est la seule ressource qui reste pour évaluer les fonctions déterminées par des équations différentielles qu'on ne peut int^er exactement; et peut-être n'y a-t-il pas d'autre moyen de résoudre les grandes difficultés que présente la théorie des perturbations des planètes y lorsque le développement en série ne peut pas avoir lieu , ou lorsqu'il offrirait un trop grand nombre de termes qni ne pourraient être négUgés.

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