CHAPITRE V

tires les ujis et les amtres de la Trigon. Britan. de Brigcs, publiée après la mort de cet auteur, par Gelubrand, seul ouvrage où l'on trouve un; aussi grand nombre de décimales ; car le Thésaurus Màthematicus de Pi- Tjscus, ne donne les rànus naturels qu'avec quatorze décimales. Nous avons cru que cette Table serait utile , ne fût -'ce que pour mettre le lecteur à' portée de vérifier par lui-même , et sans le secours d'un livre qui devient chaque jour plus rare , les calculs que nous avons développés dans différens endroits de cet ouvrage , et surtout ceux qui se rapportent à la Table des fonctions complètes.

La Table IV donne les logarithmes hyperboliques de taug ( 4^®+!^), pour toutes les valeurs de ^ , de demi-degré en demi-degré ; ces logarith-», mes sont en même temps les valeurs de la fonction F^, lorsque le module eht égal à l'unité, ou lorsque l'angle du module est de 90**.

Connaissant, par la Table JHT, les logarithmes vulgaires de tang. . (45^ 4* 7 9) 9 îl d ^^'ffi ^ multiplier ceux-ci par Je module M = a • 3o25 , etc., pour avoir les logarithmes contenus dans la Table lY.

Enfin nous avons cru faire plaisir aux calculateurs en ajoutant à ce petit recueil, la Table Y extraite des grandes Tables du cadastre , où Ton trouvera les logarithmes à dix-neuf décimales pour tous les nombres impairs de II 63 à i5oi , et pour tous les nombres premiers de i5oo à loooo.

726. La Table IV, dans laquelle nous avons inséré les difi'érences successives de la fonction , autant que le format a pu le permettre, fait voir que ces différences décroissent d'une manière très lente , lorsque l'amplitude ^ approche de 90®. Alors l'interpolation de la Table devient très difficile, ou ne donne qu'une approximation insuffisante; mais il est inu* tile de s'occuper de cette interpolation dans le cas de la Table IV, parce qu*on a d'ailleurs assez de moyens de déterminer avec toute la précision nécessaire le log. hyperbolique de tang (45'-|-î^) , quelque soit ^.

L'interpolation présentera de semblables difficultés, mais a un moindre degré, dans les Tables particulières dressées pour des modules dont les angles diffèrent peu de l'angle droit ; il y aura alors une partie plus ou moins étendue de chaque Table , celle qui répond aux plus grandes valeurs de (p, dans laquelle les interpolations exigeront un calcul plus longj mais cet inconvénient ne se fera guère sentir qu'à compter de l'angle du module 9 = 70**, et seulement pour des valeurs.de ^ non moindres que no ou 75®. On remarquera au reste que les simples Tables de logaritliilies des nombres et des sinus , sont sujettes à un pareil inconvénient , vers leur T. II. 10

^ CONSTRUCTION DES tABtÈS ELLIPTIQUES,

cdftiMéiltteàâeht > et que celted des logai^lhmés des tangentes k sont au ùàinïïïéticeïxïeîït et à la fitt , lorsque l'angle approche de 90*.

Il sei^U superflu de f^liiiéi^icl de la double interpolation qdé l'on aurait à fbh^è selon les diverse^ valeur^ des angles 8 et ^ > lorsque le système de Tables dont nous avons parle sera exécuté, où, te qui revient au même, IbHtjtfon aura une Table à double entrée contenant les valeurs des fonctions E et F, pour toutes les valeurs des angles S et ^ , de demi -degré èto defaii^d^ré. Mais il y â d'autres questions qui concernent la eonsèrut^tibn de la Table elle-même , et qui méritent d'être discutées.

727. On peut d'abord observer que l'interpolation est en général plus facile à l'égard des fonctiotis E qu'à l'égard des (onctions F; et si on se rappelle que toute fonction F peut s'exprimer exactement par la fonction E et une autre fonction de même nature , on en conclilra qu'à la rigueut on pourrait se contenter de construire la Table des fonctions E, laquelle présentera toupurs plus de facilités ^et moins de cas d'exception , dans les calculs d'interpolation. Cette observation réduirait presqu'à moitié le calcul de» Tables elliptiques^ et oe calcul deviendrait surtout d'une exécution assez fismle, ai on ne voulait avcnr les fonctions E qu'avec sept décimales exactes.

Mais, d'un autre côté^ les fonctions F étant plus simples analytiquement que les fonctions E, il y a quelque inconvénient à déduire la fonction la plus simple F ou F (c, ^) de deux fonctions plus composées £(^» ^) 9 ^{^^y 9^)« C^^ inconvénient n'est pas simplement idéal, il se fait sentir encore par la complication qu'il entraîne dans les calculs, puisque la détermination de la fonction E (c% ^*^) suppose qu'on a calculé de nouveaux élémens c^, ^^, qu'on peut bien déduire trigonométriquemeut des élémens donnés c, ^, mais qui rendent le calcul plus long et plus difficultueux.

728. U faut observer de plus que quand on détermine la fonction F, soit au moyen des deux fonctions E (c, ^) , E (c*, ^), soit au moyen des deux fonctions E(r, ^), E (c'y ^'), ce qui se feit par l'une ou l'autre des formules

iF(c, ^) = i(i4-«)ECc%r)— E(c,(p)H.^(i— *)sio^% ^i«F(c,^)=E(c, ^)-(i + c)E(c',^') + csinfj

les erreurs sur les fonctions E se trouvent notablement augmentées dans l'expression de F, à tause de la petitesse du diviseur * dans une formule , ou X *• dans l'autre j de sorte qu'on ne pourra se flatter d'obtenir la fonction F avec la même précision que les Tables donnent les fonctions E,