CHAPITRE T

Ëofin , dè^ qu'une fbi^ on 9W^ dédiait de» (dop»ées c , f , kii nouvmux élémens i^j ^"^ on o\ ^', il n'eu coûtera guèf€ datuntege pour efioitiimer les mûtes Cy c'y é\ etc., et <Py f% V, elc, jusqu'au tjroiaîèiDe terme lenir viron , comme cela est nëcessaire pour obtenir directement une valeuf icniapi approchée qu'on voudra de la £bnetioii F (^^ f ), en la déduisaut 4^ formules ,

F(c,<p) = K,Ioet-ng(45-4-i*'>, K=^(^^^.

oii.4' désigne la Uaiite des angles ^ \ f\ qf^ etc. ; et dans ce cas, on A'aura aucun besoin de la Table des fonctions Ë.

7519. Il résulte de cette discussion que, quoique la fonction F puisse s'exprimer rigoureusement par deux des fonctions E; cependant cette propriété ne fournit pas des moyens de cakul asses simples pour être employée utilement dans les approximations, H en est de même de Fusage

qu^on voudrait &ire de la formule FcpE — ^-^9 ouF asE-*- tang ô

en faisant c s=: sin 6.

Car, pour faire IVipplication de eette fi^mule, il faudrait d'abord; lèhre en possession d'une Table complète des fiinctî<His E,*. calculée pounkwlfls les valeurs de fi et de ^ , de demi-degré en cteoô^degré^ de plv&eaappêr

lant a la longueur d'un demi-degré , ou faisant tt = ^ , le ooeAdent diJQ^entiel ^ devrait ôtn tiré ê^ la fonjEUile

OÙ les difierences successives cTE, '/•E, J^E, etc., sont relatives à lava^ riable 8 seule. Mais on voit qu'à cause de la petitesse de a , la valeur de

^ne serait déterminée en géoérgl qu'^viçc dw? #5λft|^9 içmoiqftgjW;!?

fonction E, et la précision diminuerait essore à meaure <pie :tai^. A 4iii|^ menterait ; ainsi ce moyen d'approximation que nous avions proposé autrefois , ne saurait être adopté.

73o. Ayant écarté plusieurs des moyens qui se présentent natureUement pour construire des Tables propres à faire trouver aisément , dans tous les cas , les valeurs des fonctions elliptiques E et F , l'idée peut venir encore de remplacer une de ces fonctions par une autre qui serait plus facile à

réduire en Tables. Telle est , par exemple , la fonction G = / ^ «

yfi CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

dont la viJeur complète y lorsque p :=i\^ ^ sei^a ^ tt ou i , selon qu'on fait c =s 0 ou <? = X ; de sorte que dans les cas intermédiaires eette fonction éprouvera peu de variations , et sera très propre à .être réduite eu Tables.

Et puisque la fonction F peut être déduite des fonctions E et G^ au moyen ^de l'équation

il semble au premier coup d'œil que la fonction G pourrait être substituée avec avantage à la fonction F, au moins dans la partie des Tables de celle-ci qui se prête difficilement aux interpolations y c'est-à-dire lorsque les angles 8 et ^ sont tous deux plus grands que 70 ou 75*. - Mais, en examinant la cbose avec plus d'attention-, on reconnaît que la difficulté n'est qu'éludée, et qu'on n'obtiendra pas une plus grande approximation par ce moyen , parce que si on a , par exemple , i* = - — ,

l'erreur de E — G se trouvera centuplée dans la valeur de F. Il vaudrait donc tout autant, à mesure que 8 et ^ augmentent au-delà d'une certaine limite, diminuer le nombre des décimales qui entrent dans l'expression de F , afin que l'interpolation fût toujours é^lement praticable, mais donnât pour résultat un moindre nombre de chiffres décimaux.

73 1. Pour donner un ei;emple de l'usage de nos méthodes, lorsque l'angle du module est peu éloigné de 90^ , nous joignons ici une Table des fonctions E et F, construite d'après ces méthodes pour le module c =B sin 89"*. Cette Table ^ calculée par la même méthode que la Table II, n'est pas pourvue d'un aussi grand degré de précision, et on ne peut guère compter sur l'exactitude de la dixième décimale; mais elle pourra être utile , surtout en fournissant des exemples qui serviront à apprécier diverses formules que nous donnerons ci-après pour les cas où le module est très peu .différent de l'unité.