T. II. II
Sa CONSTRUCTION DES TA.BLES ELLIPTIQUES,
Mm8 on a ^' — 3^ -(- ^* s= éT*^ ; cette équation peut donc se mettre'
sous la forme
tang((p + icr*(p*) = ataDg(pj on déduit de là ,
^* ^ i+atang*^
S|(Ht 41 =F , , OU A s= ■ , , cette équation deviendra
et on en déduit ultérieurement ,
sin i «T*^* = -^ A: sin ( a^ + i S'ç' ).
Cette équation fait voir que 7 S^Ç"" est toujours n^tif ; Élisant donc •i J^»^* s= «^ û»y on aura •
sin ûi =s A: sin (2^ — 6^).
ôr A: est i^ie quantité très petite du second ordre par rapport à ^, puisqu'on a
csinAss— ^-T, e( qu'ainsi k se déduit de csiu», suivant la même loi
que le module c^ se déduit du module e. On voit donc que co restera toujours une quantité très petite du second ordre; son maximum aura lieu à peu près lorsqu'on $1 ^ = 4^*, et ce maximum sera à peu près = A:. • • s= (7 c sin fit)* = ^ c^fii sin fit; dans les points extrêmes, lorsque ^sb o ou Ç JrFm'^y la quantité €ê sera nulle.
L'équation sin (v = A: sin (a0 — û)) est facile à résoudre dans les diilëreg^, cas , aveo toute l'approximation nécessaire ; on peut d^abord négliger a dans le second membre, ce qui donnera sin o) = A: sin a^, ou simplemçQl étf s? A: sip a^ ; ensuite pour avoir une plus grande approximation , on substituera celte valeur dans le second membre. Soit alors k sin (2^— û»)=s;7, on aura sin fi^ s= /?; dope si on appelle R'^ le nombre ide secondes contenues dans le rayon , afin que BJ'co exprime le nombre de secondes de Parc Al, on aura
On dédu^tJGLUçsii imipédiiitement de la foi^mule tang (^ f*fr ^ ^*^*) :ssa tang ^, une autre vfileur d^ i J^^"" gu û», si^voir :
« = — 7 J^*^* = A ^in a^ — ^ A* sin 4^ -H i A:' sin 6^ — etc.
/: ' CHAPITRE VL Sa
Mais cette expression est en général moins convergente que la précédente i €t elle parait moins facile à calculer 9 parce qu'elle exige de plus qu'on cherche dans les Tables les logarithmes de sin 4?) sin6^, etc. ' Les valeurs qu'on devra donner à ^ seront successivement ctt^ a^y Oi^ tt<t^ On calculera les valeurs correspondantes de 3a» , qui seik>nt en mette lempa celle de cT*^; et comme la première valeur de cTip, celle qui répond à 9 £= Oy est égale a a , on pourra former en entier la colonne des valeurs de ^.
Mais pour vérifier les calculs et empêcher les erreui^s de s'accumuler, il sera bon d'avoir une formule qui fasse connaître directement une différence première quelconque J^Ç.
Or on a vu ( art. 1 8 ) que si l'on fait tang «nI^ = A (ot) tang ^ et tang
ft=A((p)tanga, onaura^'=:4 +A^9 mais d'un autrecôté, 4=?-t"î^*^ et ^' = cp + cT^ ; donc jtt = cT^ — i cT^^* =s cT^ -f- â> j donc on a pour déterminer directement SÇy l'équation
tang ( <r^ + a>) = A (ç) tang A.
On voit en même temps, par celte équation, que comme cé est toujours positif, et A((p) toujours rDoindre que l'unké,on aura par ces deux rai- ^ns, cAp <^a. Ainsi toutes les quantités qui entrent, tant dans la colonne des différences secondes cT*^, que dans celle des différences premières «T^, seront plus petites que des limites données, et ne peuvent par conséquent; éprouver que de petites anomalies.
On obtiendra enfin une vérification complète de tous les calculs, lorsque le dernier ternie de la colonne des ^, savoir a,oo> se trouvera égal à qo*. On peut se procurer d'autres, vérificationa dans cet intervalle*, en calenkint la valeur de cp qui donne F^ égale à la moitié ou à une autre partie exprimée exactement en 200**"^ de la fonction complète F*.
734. Une fois qu'où a déterminé là conslihité cl par les méthodes directes, on voit que la Table entière relative à la fonction F, peut être calculée par une seule fdrmide trigonométrique simple et rigoureuse, sa-« voir, sin 6^ = A: sin ( 2^ — a»). Eu effet, celte formule seule servira à former la colonne entière des différences secondes; et comme on connaît d'avance le premier terme des différences premières «T^, lequel est égal à a, on formera de suite la colonne entière des différences premières «Tcp, et de là celle des amplitudes ç , puisque le premier terme = o. • Le problème est donc résolu conq^lètèment par la seule équation memtïonnée; mais pour se procurer de loin à loin des vérifications, on à iiiiti
seconde fwmule trigonomëtrique , savoir,
tang (cT^ + «) = A(^) tang a,
laquelle servira à calculer directement la diflférence première cT^. Elle montre immédiatement qu'une valeur approchée de J\p est J)p :=: ce A (ç) ^^ «^.
U faut maintenant examiner, i^ comment on interpolera la Table des fonctions F, calculée pour une valeur déterminée du module; 2^. comment on interpolera le système des Tables particulières, calculées pour les difiei*ens angles du module, de demi-degré en demi-degré.
735. Dans le premier cas, si Ton cherche une valeur de Ç qui réponde à une valeur donnée de F, il faudra d'abord exprimer F en parties 200*****
de F'. Soit donc F = --^— F*, » étant un entier et x une fraction.
aoo. '
Soit A la valeur de Ç qui répond au nombre n de la première colonne , et soient cTA, «T'A, cT'A les différences successives placées sur la même ligne que A y la valeur de l'amplitude f sera^ suivant les formules ordinaires,
Si au contraire on demande la valeur de F qui réponde à une valeur donnée de ^, on verra d'abord au premier coup d'oeil quel est le nombre de la Table qui doit être pris pour Aj le nombre correspondant n se trouvera dans la première colonne ^ vis-à-vis de A; ainsi, pour avoir la valeur de
F s= F*, il ne s'agira que de déduire x de l'équation précédente où
l'on connaît ^, A, «TA, cf*A, «T^A : or cette résolution n'offre aucune difficulté^ car on a
la première valeur approchée de x est donc .. j on s'en servira pour
substituer dans le dénominateur et obtenir une seconde valeur plus approchée de X'y cette seconde en donnera semblablement une troisième, et ainsi de suite.
736. Tenons maintenant à la seconde question. Nous supposons qu'il existe une suite de Tables construites pour tous les angles 0 du module, de demi-degré en demi-degré, dans chacune desquelles qn li*ouve l'ange ^
