CHAPITRE VI. Ôâ

qni répond à toute fonction F(fl, ^), exprimée par — F'(fl)^ n étant un

nombre entier.

Cela posé, soient donnés la fonction F et l'angle ft du module auquel elle appartient; il faudra préalablement, diaprés cet angle, calculer la fonction complète F' (ft); alors connaissant F, on connaîtra le nombre n+x (com«

posé de l'entier n et de la fraction x ) , tel qu'on ait F =: F*/a.

Soit maintenant /E^ssC +7*, C étant un nombre entier dedemi-d^rés, et^ étant <C i . Dans la Table où 8 =s f , on prendra par interpolation l'am* plitude ^ qui répond à ii-|-x; on prendra de même, par interpolation, les amplitudes ^\ ç'\ 9'^, etc., qui répondent à ;)-|-ar,dans les Tables qui ont pour angle du module ^-f*' 9 €+2^ ^+3, etc.; cela posé, l'amplitude qui répond à la fonction donnée F dont l'angle du module est ft, sera exprimée par la valeur

L'opération inverse se ferait d'une manière semblable, mais il est superflu de s'en occuper ici.

737. 11 &ut faire voir maintenant comment on pourra former ime Table analogue pour les fonctions Ë : cette Table est d'une exécution moins facile; cependant il se présente encore, pour la construire, des formules assez élégantes et qui méritent d'être remarquées*

Soient, comme ci^lessus, ^, ^, ^' trois amplitudes successives telles qu'on ait F(^*) + F(«)=F((p), F (<p)+F («) =F (^0> <>» ««ra> suivant l'art. 34, les deux équations

E (^•) + E (a) — E((p ) = c*sin a sin ^sin (p, JE (? ) + E («^) •— E (<P') = ^*sio « »n P. ain ^j d'où l'on tire

E ((p') — aE (9) + E ((p*) = — c» sin « sin <p ( sin (p' — sin ^•) ,

ou, ce qui revient au même,

cT^E (^•) = — c' sin a sin ç ( sin p' — sin ^•).

filais ou a sin^ — sm ^^*=2smî^ — ^ cos ^.; d ailleurs ■ ■ • .= -

= «r^ — i /•(?% et ^àJl = ^ + i <jr«<j>»j donc

OU en faisant comme ci-'dessus ^ cT*^*^ ac --^ o^,

cT'E (cp*) = — se* sin OL ces (^ — «) sin (/ç -H û)) sin Ç.

•T observe maintenant qu'on à a sin ^ cos(^ — 0^)= sin (acp — ai ) -f- sin 6^ ;

mais sinû)=sA:5m(2^ — û))j donc 2siu^cos((p — û))=(i+A:)sin(2^ — û>);

donc

cT'E (^•) = — c* (i + A) sin ât sin (a^ — a) sin («T^ + û)),

ou enfin

J^E ((p^) = — ne v/Ar.sin (2(p — ^) sin (J^(p + û»).

Cette formule est rigoureuse, et elle est réduite à un état de simplicité qui la rend très propre au calcul logarithmique.

738. Ainsi en même tems qu'on calculera pour la Table des fondions F, la quantité O) qui donne cT*^*, et ensuite /^, par la valeur J<p=eftp*-4"«^*^% on aura tous les élëmens nécessaires pour calculer cT'E^^ : on formera donc par cette seule formule, la colonne entière des différences secondes de la {oBCiion Ë* * '

On voit que la différence seconde «T'E^* s^évanouit aux deux limites de la Table, lorsque Ç=o, et lorsque ^=90^; son maximum répond à une amplitude toujours plus petite que 45*.

D^un autre côté, la fonction Ect est facile à déduire des mêmes élémens qpi servent â déterminer cl de manière qu'on ait F<t = ~5 F*, et cette fonction Ea est en même temps la valeur de cTEo , puisque Eo = o, et qu'ainsi la différence Ea — Eo ou J^Eo = Efit. Puis donc qu'on connaît le

})remier terme dé la colonne des difi(érences premières, et tous les termes de a colonne des différences Secondés, on pôutra immédiatement fofmer la colonne entière des différences premières, et ensuite celle des fbnctions E^, dont le dernier terme devra être égal à la fonction compte E'.

•739. La méthode que nous venons d'expliquer potir former la Table des fonctions E est d'une simplicité qui ne laisse rien à désirer. Et quand on considère aussi combien est facile la construction de )a Table des fonctions F, puisqu'elle ne dépend que d'une seule formule tngônométrique rigoureusement exacte, on serait tenté de croire que cette manière de former des Tables des fonqticms F et £, doit être adoptée de préférence à celle que nous avons exgosée dans les chapitres précédens. Peut-être que l'exécution dévoilerait encore de nouveaux motifs de préférence; c^est ce que nous laissons à décider à ceux qui voudront entreprendre le long et utile travail de la constructipn de ces Tables.

PJFouft devKjmr ei^corer observ^rrqti'il 4eni facile de* vérifier aussi sèuvent