CHAPITRE X

Modification de la méthode trigonométrique du Chapitre FI

769. La niéthode que nous allons exposer n^est autre chose que celle du Chapitre VI, modifiée de manière qu'elle n'exige pas un travail préliminaire trop considérable , au moins lorsqu'on ne veut pas pousser l'approximation au delà d'un certain degré.

Supposons d'abord que l'on calcule par la méthode générale l'amplitude a ou «1 , qui satisfait à l'équation Ftt= 75 Wc ( nous prenons pour exemple la fraction -j^ , mais une autre fraction telle que f ou f^ , pourrait être plus convenable dans certains cas , comme nous le verrons ci-après); aii moyen de cette amplitude on déterminera successivement celles quisatbfontaux fonctions multiples Vtt^zrz :xFa, Fass= SFa, etc. On calculera en même temps les valeurs correspondantes de E , et du tout on formera un petit tableau de dix lignes seulement, contenant les valeurs de^ et de E^, auquel on pourra joindre, pour la facilité des applications, les valeurs logarithmiques correspondantes de sin ^, tang ç, A^. Vojez un tableau de cette sorte j^ art. 777.

ii6 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

Cela pose, ^ ayant une valeur donnée quelconque, il s'agira de trouver, par le moyen de cette table , les valeurs des fonctions F^ , Ep.

770. Supposons que la valeur de (p soit plus grande que ai , elle sera com* prise entre deux termes consécutif de la première colonne ; soit d le terme le plus proche ou au moins celai pour lecjuel la différence F^-— Fa, positive ou négative, est la plus petite, et soit ^ =:â-hx, :r ayant le même signe que Fç — Fa; si l'on fait en même tempsF (a-|-ar)=:Fa-f-Fy, l'amplitudeT* se déterminera trigonométriquemeut par les équations suivantes:

c sin azssin ff , tang 4'= cos 6 tang (a + :c),/=: 4^^— %!/. c sin (« -har)=sin C'y tang %[/ = cos ^' tang a.

On voit qu'il faudra d'abord calculer les angles au:iiliaires ^, €\ ensuite les angles \|/' et 4> dont la différence est l'angle cherché j^.

Connaissant j^ qui sera en général du même ordre que or, et peu supérieur kx{ excepté dans le seul cas où c et sin ^ seront tous les deux peu différens de l'unité),' on pourra déterminer Fy et E;^ par les formules qui conviennent aux petites amplitudes , et on en déduira les fonctions cherchées

F^ = Fa + Fy,

£^ =5 Ea 4* E;^ — c* sin a sin ^ sin^.

Celte sorte d'interpolation n'exigera en général qu'un calcul assez facile et fondé, comme on voit, sur des formules trigonométriques très simples.

Si X est négatif, j^ le sera aussi; mais d'ailleurs le calcul sera toujours le même. Au reste la faculté qu'on a, suivant les différens cas, de prendre x positif ou négatif, permettra toujours de supposer Yf<aVcLi c'est ce qui aura lieu encore, lorsque ^ sera moindre que a, mais tel cependant qu'on ait F^>iFa.

Nous remarquerons que si l'on fait sin â» = , 4,»a/ -i. \ > ^^ ^^^^ ®*®^' tement sin r= 1 , . . r-» Par les auxiliaires ^ et ^\ on a Aa=cos^, À(a*f-j?)=cos^% ainsi l'angle û), troisième auxiliaire, se trouverait par l'é-

quation sin û)s=: — (l^^±ç\ /j^ — »c) ' ™^^^ *^ ^^^ presque toujours plus

simple de se servir des formules précédentes, quoiqu'elles déterminent l'angle j^ par la différence de deux angles beaucoup plus grands '^' et '^.

771. Nous avons donné dans le Chapitre VU des formules pour calculer les fonctions F^, E^, lorsque l'amplitude ^ ne passe pas une certaine limite j