CHAPITRE XII
Sur la construction des Tables VIII et IX.
804. Aja. méthode du chapitre VI présente beaucoup d^avantages par I simplicité et l'élégance des formules qui servent à construire chaque table particulière pour un module déterminé ; on a vu que les calculs s'exécutent dans toute l'étendue de la table , en n'empruntant de la théorie des fonctions elliptiques qu'un seul élément qui se multiplie ensuite par des formules purement trigonométriques et rigoureusement exactes; cependant l'usage de ces tables serait peu commode dans l'interpolation , lorsqu'il s*agirait de trouver les fonctions E et F qui répondent à des valeurs données de l'amplitude et du module.
11 parait beaucoup plus convenable , pour cet objet , de construire des Tables dans lesquelles l'amplitude et l'angle du module croissent par des intervalles égaux et suffisamment petits, de o® k 96*^. C'est donc entre les deux méthodes proposées dans le chap. 111 , qu'il faut choisir celle qu'on regardera comme la plus facile, pour parvenir à un d^é d'exactitude déterminé.
8o5. La seconde de ces deux méthodes fait trouver direetement la différence seconde de la fonction E , ainsi que celle de la fonction F ; et par ces diflférences, vérifiées à de certains intervalles, on parvient à former la série entière des valeurs de E et de F, comme nous l'avons fait voir avec beaucoup de détail , en calculant la Table 11 qui convient au module c = sin 45*.
L'avantage principal de cette seconde méthode consiste en ce que les auxiliaires qui servent à déterminer les différences secondes des fonctions, £ont beaucoup plus petites que celles qui, dans la première méthode, seraient nécessaires pour donner immédiatement les différences premières de ces mêmes fonctions. Mais, d'un autre côté, les erreurs sur les difiërences secondes se multiplient suivant la progression des nombres triangulaires , 4ans la détermination des fonctions principales ] il devient donc nécessaire
OUPITRE XII. r€r
de calculer ces dififërenoes ayec deux décimales de plus , ce qui fait perdre tout l'avantage qu'oa pouvait çn attendre; et si on n'augmente pas le nombre des décimales , il faut vérifier les résultats de distance en distance , puis corriger les nombres intermédiaires, suivant un mode de répartition €|ui est plus ou moins arbitraire.
Cet inconvénient qu'on a pu remarquer dans l'art. 732,. n'a pas lieu dans la première méthode , ainsi que nous nous en sommes assuré par un grand nombre d'essais, et cette raison suffit pour lui donner la préférence. Mais, comme on n'a pas de tables usuelles qui passent dix décimales, il serait trop difficile de calculer les fonctions avec douze décimales , comme nous l'avons fait dans la Table II , et il ftut se borner k' les Cal->culer ayec neuf ou dix décimales , ce qui au^ reste est plus que suffisant pour l'usage ordinaire.
806. Notre choix étant ainsi fixé sur la première méthode que nous avons nommée Méthode des ordonnées mofennes , nous aurions désiré pouvoir construire, pour tous les angles du module, de demi-degré en demi-degré , des Tables parficiyîères semblables à la Table 11 , «fais eal^ culées à dix décimales seulement ; la réunion de toules ces tables, sans y comprendre les différences qui n'y pourraient entrer qu'au premier ordre et en amenant beaucoup de confusion , aurait formé, sons im assez petit volume, une table à. double entrée. d'une étendue suffisante pour satisfaire à toutes les applications où il s'agit de calculer les fonctions E et F pour des valeurs données de l'amplitude et de l'angle du module. Mais l'extrême longueur d'un psrreil travail ne uous'apas permis de l'entreprendre, et nous nous sommes proposé seulement de calculer une T^Vle semblable pour tous les degrés de l'amplitude et de l'angle du module. Cette tâche encore bien pénible a été beureusement conciuite à son terme, et la Table IX qui en est résultée pourra satisfaire encore long-temps aux besoins des Géomètres; d'ailieiu's elle fouruirjà des bas^s certaines et.bi^n vérifiées à ceux qui entreprendraient de calculer une Table semblable d'une j)lus grande étendue et procédant par de plus peûts iutervalles.
807. Pour faciliter la construction des Tables particulières qui composent la Table IX, il était nécessaire de calculer d'avance et avec beaucoup de précision , les fonctions F et E pour l'ampFitude de 45* et [>our celle de go**. C'est pour ce double objet que la Table VUI a été construite : nous aurions pu n'y pas comprendre les fonctions ayant 90^ d'amplitude, puisque leurs logarithmes sont donnés avec .dojuze décimales dans la Table Ij T. IL ai
sea CONSTRUGTIOIf DES TIAUSS ELUPTIQUES,
Biais la rÔAmon des deux sëriea a procuré une fiiciltté ^de phis pour la cbnstructioa de la Table générale et ne pemt manqiiw d'aaroir wa utUîii dans d'autres ocGaaioas. - ■
Nous semarqwerons ici que les formules génécales pour le calcul des .fonctions £ et F , se simplifient assez notablement dans le cas d'une am-^ plitude de ^5% ce qui a facilité beaucoup la construction de la Table YUL Rappelons d'abord que les formules pour calculer l^ fonctions F et f)> sont en général F^ = K4>,' £^ ;=s LF^ -f» Pc sin*^. D'ailleurs 1^ valeur de F se forme au moyen des équations a> = ç* — ^ , â^o s=s ^<x> — ^^^ etc. ,
tang w^sib tang.^, tang.A»^^^^ langi^^^ etc., r = c cos a», /^=
(f cos a>*^i etc. , d'oi Ton déduit
P = Jr-|-^rr^4.| rr^i^ 4- e te .
8o8. Voyons maintenant ce qui résuite de la supposition ^ = 4^^ Alors les équations sin ( a^ — ^) = c^ sin ^ , tang »® = b^ tang ^ , donnent
tang ^^ = —, tang «^ = — , et de celle-ci on déduit encore sin û>*^= A**^
cos ^^ =s c^ ; ainâ on aura à la fois cot ^^ = c^ et cqs cù^ ss e"*^ la première donne la valeur de ^^ et la seconde celle de a»^ j on connaîtra ainsi ^<^ c=3 ç? -f- êà^. Dans le cas où c^ est suifisamment petit , il conviendra de cakuler ^^ par la sui(e
^TT — <p^=c?^ — ic««-f^c"* — |c*^ + etc.^
ou pour abréger
iîT — r = (0--(2) + (5)-(4) + etc.,
et on aura en même temps
i^- «» « (,) 4- i (a) + i^ (5) H- if|j|(4)H- etc.
Soit z la somme des seconds membres de ces deux équations, on aura
^ — ^oo =: 2 ou $^ = 'Tt — «.
Connaissant ainsi ^^ et ^^ , il sera fecile d'avoir ^^^^ par l'équation tang cà^ = b^ tang Ç*^, ou par la série
^ooo . ^^ ^ooo sin 3^- ^ 1 (à^y sin 4^^ — etc. ,
dont il suffit de calculer les trois premiers termes; on aura de même,. ^oooo ;-. 3^000 ^—o gjjj açooo u ré^iJte de ces deux équations , où Ion
peut supposer c^** = (7 c9^ Y -
Zço«oo^^g^^ c*-sin m(i— fc^^^cosais);
