CHAPITRE XVI

On voit que cette valeur ne diffère de celle qu’on a déja trouvée que de quatre unités décimales du vingt-unième ordre, ce qui confirme pleinement tous ces calculs.

858. Connaissant ainsi les fonctions complètes, si on se propose de déterminer avec un pareil degré d’exactitude les fonctions Ep, Fp, pour une amplitude donnée @, le calcul présentera de plus grandes difficultés, parce que les Tables connues de log. sinus ne passent pas quatorze décimales , au lieu que les logarithmes des nombres jusqu’à 1100, sont donnés avec un beaucoup plus grand nombre de décimales par la Table de SAarp, et se trouvent dans plusieurs autres recueils, ce qui permet de suppléer aux limites des Tables, en employant des réductions et des artifices de calcul tels que ceux dont nous avons donné des exemples. Voici, au reste, quelle serait la marche qu’on pourrait suivre, si on entreprenait de semblables calculs.

Supposons qu’étant donnée la valeur deg, on veuille déterminer, avec vingt décimales exactes, la fonction F@ ou son logarithme, il faudra commencer par chercher, avec une semblable précision, la valeur de tang @ ou celle de son logarithme, c’est ce qu’on trouvera par les formules connues dans la théorie des fonctions angulaires. Ensuite il faudra procéder au calcul des angles croissans g°, °°, @°®%, etc., où à celui des angles décroissans @’, ?", ®"”, etc., selon que le module sera plus petit ou plus grand que siu 45°.

Dans le premier cas, pour déterminer @* par le moyen de ®, on ne doit plus employer l'équation succincte tang (@°— @)= à tang @ qui suppose l’'usage des tables de sinus, mais il faudra déterminer simplement la valeur numérique de tang ®° par la formule

1 +b)tan tang Q°—= CH = rs On aura soin cependant de noter la valeur approchée de g°, en degrés et minutes seulement, afin de ne pas confondre le véritable arc g° dont on a besoin, avec les autres arcs qui peuvent avoir la même tangente ; on se rappellera pour cet effet, qu’en vertu de l'équation sin (29 — g°)=c° sin @°, la valeur de 29 — g° doit toujours être contenue entre les limites 6° et — 6°,

8° étant le plus petit arc qui a pour sinus c°. Bb

On connait déjà Z'tang®, on connaît {1 +8) = LE , ainsi pour avoir / tang @°, il faut faire b tang*® = A, et du logarithme connu de A déduire celui de 1— A, ce qui se fait par les formules dont nous avons donné beaucoup d’exemples.

a14 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

Il est visible maintenant qu’un semblable calcul servira à déduire g°° de @°,

et ainsi de suite. On continuera donc le calcul des amplitudes croissantes p°, p°°, p°%, etc., jusqu’à la limite où un terme ne diffère plus sensiblement du double du précédent; cette limite aura lieu lorsque le à correspondant au dernier @ pourra être pris pour l'unité; dans l'exemple précédent , c'était b%, Ainsi, lorsqu'on voudra avoir vingt décimales exactes et que c ne surpassera pas sin 45°, il ne faudra pas prolonger la suite @°, @*, etc., audelà du quatrième terme g**”, et pour des modules au-dessous de sin 26°, il suffirait d’aller jusqu’à @°* Connaissant tang 9°” et sachant toujours d'avance, à très pen prés, combien l’arc @* contient de degrés et de minutes, il restera à trouver l'arc lui-même qui répond à cette Langente, c’est ce qu’on trouvera par les formules qui ont servi à trouver tang ® par le moyen de 9.

L’angle 9°” étant connu et réduit en parties du rayon, on fera b— +9", et on aura la fonction cherchée F9 =K®. L'application de la même formule, répétée quatre fois consécutives, suffira donc pour obtenir vingt décimales exactes; on en obtiendrait le double avec un terme de plus, mais alors il faudrait calculer aussi, avec quarante décimales, les logaritlimes des modules et ceux des différentes tangentes, ce qui serait un travail presque insurmontable.

839. La même méthode peut être suivie, quand même l’angle du module s’éléverait jusqu’à 70 ou 75 degrés; mais, passé cette limite, il est préférable de suivre 1a méthode des modules croissans.

Ayant donc calculé les termes de l'échelle des modules d’où se déduisent les fonctions complètes E'e, F'c, on procédera au calcul des amplitudes décroissantes ®’, ®", etc., de la manière suivante :

IL faudra d’abord tirer la valeur de tang @’ de l’équation.....,....

G QG + b") tang [16 tang g ?

cot g= LE cot p+4/[ (HS) co oe+8 |]; VE à

| , | et commeon a 1 + br = 7 la valeur de 7 g' pourra être mise sous cette forme

tang @ = laquelle donne

2 lang ®

ROBE TE VE ange)

Mais, lorsque à sera très petit, on pourra substituer à cette formule la suite fort convergente,