CHAPITRE XVI. 217 cot = 1 (cot ® —tang p)+ 10° (cot ? + tang

dont le calcul est assez facile, pourvu qu’on connaisse à la fois cot @ et tang @; il faudra par la même raison déduire tang @° de cot @, et on calculera semblablement l'angle @® par la formule

cot @® =; (cot ° — tang g°) ++ e%(cot @° + tang g°).

On continuera ainsi jusqu’à ce qu’on parvienne au terme @(® de même rang que c{, et dans chacun de ces calculs, on aura soin de noter, comme il a été dit art. 838, la valeur approchée de l'arc dont on a calculé la cotangente. Connaissant donc le nombre total de degrés contenus dans le dernier terme @{, la valeur exscte de cet arc pourra être déduite de sa tangente connue avec toute la précision nécessaire. Réduisant ensuite cet

arc en parties du rayon, et faisant =, on aura Fe=Ko@.

I reste à calculer Eg, ce qu'on fera par l’équation Ep = LF® +Pe sin ®, dans laquelle on a

P = cos G = T c08 w cosa° + À cos w cos a° cos @°° =he EtC. ;

d'ailleurs les angles &, «°, w°*, etc., se déduisent des angles @,@°,9", etc., par les formules tang © — btang@, tang o° = b° tang @°, tangu* = b” tang g”, etc.; et comme on connaît lang @, tang @°, etc., on aura im= médiatement c F Ci C COS © = Va+ FTange) € cos &° = VG FE ang p)? etc.

Cette méthode, que nous employons ordinairement depnis ec = 0 jusqu’à sin 45°, peut être étendue beaucoup plus loin, jusqu’à c = sin 81°, parce que dans cette dernière limite les séries n’ont qu’un terme de plus que pour la limite e = sin 45°, Mais depuis ec = sin 81°, jusqu’à c== 1, la seconde méthode mérite la préférence, à raison du moindre nombre de termes dont les séries sont composées, et le calcul devra être fait comme il suit.

843. On formera d’abord la série des modules croissans €, c', c”, … et ceke de leurs complémens b, #', 8"... par les mêmes formules que dans

l'art. 841, ayant soin seulement d’échanger entr’elles les lettres # et ©, T. IL 28

ainsi que les signes * et ’. La suite , 2’, 8"... étant donc prolongée jusqu’à un terme 2® dont le quarré soit négligeable, relativement au degré d’approximation qu’on a en vue, on aura en logarithmes hyperboliques

F'e= à log Le ou en logarithmes vulgaires , F'e = log d’ailleurs le coeflicient K a pour valeur K=(1+86) (+8) (+8)... (i+ 8m);

on calculera en mème temps la fonction E'c par les formules

Etc = L'Fc+,

b° b bE , very S = (: ++ + 5 + ete. ).

Dans cette méthode, il reste à calculer le logarithme de ne avec le degré de précision requis.

Si ensuite il s’agit de calculer les fonctions F@, E?, qui répondent à une amplitude donnée , on suivra les formules ordinaires , lesquelles ne sont guère susceptibles d’être simplifiées, si ce n’est la formule principale qu'il convient de mettre sous la forme

cot ® = te cot ® + / [<< ‘cot* p + | e

elle servira à déduire cot &’ de cot ®; on déduira de même cot 9” de cot g’, et ainsi de suite.

844. En terminant ces recherches, nous croyons devoir faire observer que par la simple méthode de bissection qui n’exige que des extractions de racine quarrée, on peut calculer jusqu’à tel nombre de décimales qu'on voudra , les fonctions F et E correspondantes à des valeurs données du module et de l’amplitude.

Remarquons d’abord que pour la bissection des simples ares de cercle, on a les formules

sin;p=s ÿ(1+sinpg)—+y/(1 — sing), CosiP=;x V(i+ sing) + Eip(r — sin @); ainsi le sinus et le cosinus de l'arc 1 @ se déduisent à la fois de la valeur

donnée de sin ®. Partant donc d’un sinus connu tel que sin 45°, sin 30°, ou en général sin æ, on peut, par des bissections continuelles , parvenir