CHAPITRE PREMIER

Propriétés générales des Intégrales Eulériennes de la première

espèce.

1. L'expnession (2) par laquelle nous désignons l'intégrale fe EE — , 4 Var)

prise depuis æ=0, jusqu'à x=—=1,est en général une fonction des deux exposans p et g; et de l’exposant x, qu'on regarde comme des nombres entiers, Mais nous supposons x constant, et notre but est de comparer entre elles les diverses valeurs de (2) qui répondent à une même valeur de 7,

afin de réduire au moindre nombre possible les transceudantes que cette expression renferme.

Nous observerons d’abord que les deux exposans p et q peuvent être échangés entre eux. En effet, si on fait 2" = 1 —y", on aura dx Y"'dy

# PRE FORESSRE

Var) VO —s" > et la transformée en y devra être intégrée depuis y =1 jusqu'à y = 0. En changeant son signe, elle devra être intégrée depuis y= 0 jusqu'ày =1 ; et comme alors on peut mettre x à la place de y, on aura

An (de |. voa J vas” ou suivant notre notation , =), ()

ce qui est la propriété énoncée.

2. 1] faut faire voir maintenant que si dans la formule (), l’un des deux

nombres p et g est plus grand que 7, la formule se ramène aisément au cas où p et g sont compris l’un et l’autre dans les limites 1 et »#. Pour

CHAPITRE I. 367 cela soit Z= x? (1— x"), on aura la différentielle IL = ka "dx (1 — 2") (kHm)att dx (1 — x" y", d’où Pon tire en intégrant, < Z= ES 2 "dr (12) (ken) fat dx (1 — x"), Donc si on prend les intégrales entre les limites x=—0, æ=—1,et qu’en

même temps on suppose À > 0, etr>0o, afin que Z s’évanouisse dans les deux limites, on aura

Jade (2 = Es fade (1)

d’où il suit qu’en faisant kHn=p et r=æ1, il viendra

ONE o

Au mayen de cette formule, toute fonction( E ), dans laquelle on a p>n,

se réduira successivement aux fonctions (= "), (= =), etc., jusqu’à

un terme (= 7) ou Œ), dans lequel p’ sera le reste de la division de p par n.

Arrivé à ce terme, si de son côté g est plus grand que #, la fonction (E) qui est la même que (3), se réduira successivement aux fonctions

(= , (=), etc., jusqu'à un terme (5) ou (&), dans lequel

sera le reste de la division de g par 7.

De là on vois qu’on peut toujours supposer la fonction (2) réduite à une forme où p et gsoient compris tous deux dans la suite 1,2, 3....n.

3. Cela posé, il y a deux cas principaux où on peut trouver imamédiatement la valeur de (2): ; c’est lorsque # est égal à l’un des deux nombres pet g, ou lorsqu'il est égal à leur somme.

Soit, 1°. g=n, on aura immédiatement (E)=/ardre © + C, intégrale qui, étant prise depuis x=0 jusqu'à x = 1, se réduit à 55 d’où

résulte De; o

368 INTÉGRALES EULÉRIENNES, Soit, 2°., pg=n, où p=a, q=n—a, on aura (E=rede( 2);

faisant 1—2x"=2"2", on aura la transformée rationnelle

OMC

-, Donc si ax

connues (Æul., Calc. intég., t. 1, p.252), celte intégrale = n sin— n

CP on fait ==, On aura

a CL] (=) — snas (d) Excepté ces deux cas généraux, toutes les quantités désignées par (2)

sont des transcendantes plus ou moins composées, selon la valeur de », et ne sont paint susceptibles d’une évaluation exacte. Mais, pou chaque valeur de 7, on peut exprimer toutes ces transcendantes au moyen d’un petit nombre d’entre elles, et c’est l’objet des recherches suivantes.

4. Observons d’abord qu’en mettant p+ n à la place de p, l'équation (b) donne P\ Pt ,fPtr (£) ee ( q ) On aurait semblablement Petits are EF) Cri

Été. (eh

etc.

Donc, en général , ë étant un nombre entier positif à volonté, on aura (E)=2+2. photn photan p+gthin (tite .

7 P P+n pP+2n p+in q »

mettant. p «r au hieu de p, on aura semblablement

(tr) etitr patin phatrtan ptobrin (HE 2} P+r P+r+n p+r+an p+r-+in 7

Divisons ces deux formules l’une par l’autre, et faisons, pour abréger,