Æ D =M°M'M"....MO (: T

k! étant plus grand que 4.

370 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

On sait par cetle équation combien on approche du rapport de (2) à (£ + ‘), en prolongeant le produit M°M'M".... jusqu’à un terme M9; et il est clair qu’en continuant ce produit à l'infini, on aura la vraie valeur de ce rapport, laquelle sera :

162 = M°M'! M" M”, - Gr Maintenant si dans cette équation on échange entre elles les lettres g

el r, les quantités M°, M’, M", etc., resteront les mêmes, de sorte qu’on aura encore

P a =M°M'M"M"", etc.

Donc par la comparaison de ces équations, ou obtient la formule générale

©) 59 = D te)

Cette formule dont la découverte appartient à Euler, est une sorte d’équation aux difiérences finies, qui renferme presque toute la théorie

des transcendantes (£) Et d’abord, nous allons en déduire l’expression générale des quantités @).

5. Les formules (c) et (d) donnent les valeurs exactes de la fonction CE), toutes les fois que l’un des deux nombres p et g ou leur somme est égale à r. Supposons maintenant qu'on connaisse de plus toutes les valeurs

de @), lorsque p+qg=n—1, et désignons en général par À, la fonction

n—G— 1 3 , ( RS sorte qu'on ait

GE PPS ER

CT )=As (7h

et parce que (2)= @), on aura aussi G—)=A4. ; = =A,, etc. ; donc en général ;

On aura donc successivement