CHAPITRE II

()= EE L'dx

Va — y”

si l’on fait een Quai (is),

Quant aux limites de cette nouvelle intégrale, il faut observer que les valeurs z"=0,x"=#,zx"= 1 donnent respectivement 2=0,£2=1,3= 0. D'où l’on voit qu’il faut prendre deux fois l’intégrale en z, depuis 2=—0 jusqu’à £2= 1. Et comme alors rien n'empêche de mettre x à la place de z, on aura

(=2 dr (r)4

Vis")

la transformée sera

cette intégrale est ainsi réduite à la forme la plus simple dont elle soit susceptible, puisque le radical n’est plus que du second degré. 11. Si dans celte formule on met n — a à }a place de 4, on aura

n— a\ __ —1+2 ane de :

(= re va —#)?

de là et de l'équation (q) résnlte cette formule remarquable qui demne le produit de deux intégrales :

x dr 29 dx 2ucot as ‘ va — 2" J VG —#) TT na (s).

12. Puisque les fonctions (2) sont les plus simples entre les fonctions ()

non comprises dans les formules (c) et (1), il semblerait convenable de les substituer aux auxiliaires désignées par À,, pour exprimer par leur moyen

toutes les fonctions (e)

Dans cette vue, désignons en général la fonction (©) parM,;commeon peut

supposer a < +, on aura par Ja formule (k), M = ’ LA sin (a+-1) # sin(a+ 2) #....5in (ne 1) Miles sin w sin 2... Sin-(n — 20 — 1) # ?

valeur qui, au moyen des équations Anis = À, Sin (nr — À) © = sin kw, se réduit à cette forme

M — ÀsÂatse. Asa Si0 (a+ 1)» sin TC ):

er ol RE sin # Sin 2e. . «Sin ae (t);

376 INTÉGRALES EULÉRIENNES, d’où lon tire successivement.

M == A, sin 24

sin À,As sin 34 sin 4e À, ‘ Sinwsin2s ?

AsA,A;5 sin 4e sin 5 sin 6»

M, = AA, ‘ sine sin 2e sin 3w | etc, Ces équations, qu’on peut mettre aussi sous la forme NN A=M ÀA,A, M, ° sin 3» sin 4 (u),

AyAs Ms+ sin° 3®

A, 4 M, ‘ sin 5vsin etc.

ES

serviront à déterminer les auxiliaires À,, À,, As, etc., au moyen d’un égal nombre de quantités M,, M,, M;, etc., prises dans l’ordre convenable. On pourra donc exprimer par ces dernières quantités toutes les fontions () qui répondent à une meme valeur de 7.

Mais il faut observer que ces substitutions ne peuvent s’effectuer que pour

des valeurs particulières de #, et qu’ainsi par l’emploi des auxiliaires M,, on ne peut parvenir à des formules aussi générales que le sont les formules

(k) et (n).