CHAPITRE Y

gentes ; il faudrait partir de Ja formule ('), et la différencier par rapport

à p, autant de fois qu’il est nécessaire. En la différenciant une fois, on aura

22 et Dont opte | dE + da HS FE ER cn) Fe Né } ME un FL. ee ur + + =) ne TR CE ne Eu — FRS TrE ne LS

Ces suites sont convergentes, puisque chaque terme est moindre que la moitié du précédent ; mais leur forme est compliquée, et elle le deviendrait davantage dans la différentielle du second ordre ou d’un ordre plus élevé, c’est pourquoi il convient de recourir à d’autres moyens, si on veut évaluer facilement les intégrales dont il s’agit.

29. Par la formule de Part. 4, on a cette expression de Z, z—Pts phatn pHgtan

P p+n Pp+2n où les facteurs successifs dont le nombre est infim, sapprochent conti-

nuellement de lunité qui est leur limite. Si on différencie, par rapport à p, les logarithmes des deux membres, il viendra

CRE EN es en OR Zdp Ge 4 D ame P+ rat an =) Te Soit ® ou ®{u) une fonction de v, telle qu’on ait CT vP+a vP+i+n win vp+rtin = -——— ee — —— + etc.

PO P+g p+tn p+gtn phsn p+g+hon La fonction ® (u) devenant ® (1), lorsque v=1, on aura — 2 ou 201).

-Or, en différenciant par rapport à u la valeur de ®, on a

pF 4 Hopta—i + vP+sa—1 + etc.

d® = dv { — PH net. | J

ou en sommant ces suites d® = AE

ch à =

390 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

Cette intégrale doit être prise de manière qu'elle s’évanouisse lorsque

uæ=0; on fera ensuite vu =1, el on aura la valeur cherchée de ®(r). Mettant x à la aie de vu et faisant

ai EE) T=/f ( — dæ, on aura Z'= ZT ; donc si on prend, æT=0ojusqu'a æ=1, les trois

intégrales

pa VS al po Te Dane £ ni L ee. 1—7% 3 (arr) (CS

la première sera égale au produit de deux autres, ce qui est un théorème fort remarquable.

30. Pour étendre encore davantage cette théorie, considérons ces deux suites d’intégrales en Z et T, prises depuis += 0 jusqu'à x = 1.

Lu fa, Ps A

1 x) Ed a dx log = L'= élues" T'= ET dx 16:

Va) se = xP dx log"; 1" SE à L Va VOTE ie:

etc., elc.

Il résulte d’abord du théorème précédent qu’on a

Différenciant cette équation par rapport à p, et observant qu’on a T=

— 2, = 21, = Tr on aura Z'=Z'T-E ZT", ou

dp = ZT + TT).

Celle-ci étant différenciée de nouveau par rapport à p, donne Me PAT 4e 3TT'H TT"),

et ainsi de suite, la loi ‘ ces expressions étant analogue à celle des différentielles successives de la formule ue/udr , Si l’on veut donc avoir les valeurs des quantités Z’, Z", Z'", etc., ou sim: