CHAPITRE Y. 3gt

plement leur rapport à la fonction primitive Z, il faudra connaître les quantités T, T’, T”, etc., en pareil nombre. Mais, comme celles-ci sont rationnelles, et contiennent des puissances moins élevées de log = on voit qu’au moins la difficulté est diminuée.

31. Si l’on intègre la différentielle x++-—14x, depuis x=0 jusqu'à æ=1, on aura

2 3 fanta—idx = SR nm taie.

Si on met la même différentielle sous la forme x"—'dr.x*, ou C] 3 a" dx (1 + @ log x + = log* x + 3 log® x + etc.), son intégrale prise entre les mêmes limites , sera Je" dx + a fx" "dx log æ + fav dx log x + etc. L'identité de ces deux formules exige donc qu’on ait fa dx =*, J'x"— "dx log (5) = = f 2%" dx log (= ) = faäxlos(:) =

et en général

far tds log (+) = : (k!)

32. A l’aide de cette formule on peut exprimer les quantités T', T", etc., par des séries régulières, composées des puissances réciproques des nombres pris à des intervalles égaux dans la suite des nombres naturels.

Ainsi en développant d’abord la différentielle qu'il faut intégrer pour avoir T',on a

Te drlog à {LT Pt Put ne

et effectuant l'intégration entre les limites x = 0,x= 1,il vient fs M je 7 a D A TT NUE + es